Ache as equações das duas retas tangentes que passam pelo ponto (1,-3) e são tangentes ao gráfico de f(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas que passam por (1,-3) e tocam o gráfico de f(x)=x^2 num único ponto. O conteúdo é geometria analítica: retas tangentes a uma parábola. Para resolver, vamos escrever a reta genérica de coeficiente angular m que passa por (1,-3) e impor que o sistema reta–parábola tenha solução única.

Passo 2

A reta de coeficiente angular m passando por (1,-3) é dada por
y + 3 = m\,(x - 1).
Para achar o ponto de tangência com a parábola y = x^2, igualamos as duas expressões de y:
x^2 = m\,(x - 1) - 3.

Passo 3

Reescrevendo em forma de equação quadrática em x, temos
x^2 - m\,x + m + 3 = 0.
Para que haja exatamente um ponto de interseção (tangência), o discriminante deve ser zero:
\Delta = (-m)^2 - 4\cdot1\cdot(m+3) = 0.

Passo 4

Calculamos
m^2 - 4(m+3) = m^2 - 4m - 12 = 0.
As raízes dessa equação são
m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2},
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m_1 = 6 \quad\text{e}\quad m_2 = -2.

Passo 5

Para cada valor de m escrevemos a reta:
Para m_1=6:
y + 3 = 6(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = 6x - 9.
Para m_2=-2:
y + 3 = -2(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -2x - 1.

Resposta

As duas retas são
\boxed{y = 6x - 9} \quad\text{e}\quad \boxed{y = -2x - 1}.

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