Achar a equação da tangente e da normal à curva y=\sqrt[3]{x-1} no ponto P=(1 ; 0).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva
\displaystyle y=\sqrt[3]{x-1}
no ponto P=(1,0). Vamos usar derivação para encontrar a inclinação da tangente e depois obter a normal.

Passo 2

Derivamos y=\sqrt[3]{x-1}=(x-1)^{1/3} usando a regra da potência:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}(x-1)^{\tfrac{1}{3}-1} =\frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}.

Passo 3

Em x=1 temos
\displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{x=1}=\frac{1}{3}(0)^{-2/3},
que diverge para infinito. Isso significa que a reta tangente é vertical e, portanto, sua equação é
x=1.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente. Como a tangente é vertical, a normal é horizontal, ou seja, tem declive zero e passa por y=0. Logo sua equação é
y=0.

Resposta

Tangente: x=1
Normal: y=0

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