Escrever a equação da tangente e da normal à função dada por: y=\sqrt{x}, no ponto de abscissa x=4.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal ao gráfico de y=\sqrt{x} no ponto de abscissa x=4.
Conteúdo: derivada de funções (para achar o coeficiente angular da tangente) e geometria analítica de retas (fórmula ponto-reta e relação entre tangente e normal).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência:
x_0 = 4, \qquad y_0 = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Determinar a derivada de y=\sqrt{x}=x^{1/2} e seu valor em x=4:
y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}},
y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot2} = \frac{1}{4}.
Logo, o coeficiente angular da tangente é m_{\rm t}=\tfrac14.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
y - y_0 = m_{\rm t}\,(x - x_0)
y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4),
que, em forma explícita, fica
y = \frac{1}{4}x + 1.

Passo 5

A normal é a reta perpendicular à tangente, cujo coeficiente angular é o negativo do inverso de m_{\rm t}:
m_{\rm n} = -\frac{1}{m_{\rm t}} = -4.
Usando novamente a forma ponto-declive:
y - 2 = -4\,(x - 4),
que, em forma explícita, dá
y = -4x + 18.

Resposta

Equação da tangente:
y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4) \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{1}{4}x + 1.
Equação da normal:
y - 2 = -4(x - 4) \quad\Longleftrightarrow\quad y = -4x + 18.

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