Determine o conficiente angular da tangente à curva
x^{3}+y^{3}-x y-7=0
no ponto P=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
x^{3}+y^{3}-x y-7=0
e pede o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto P=(1,2). Para isso, vamos usar derivação implícita, isto é, derivar ambos os lados da equação em relação a x e depois isolar \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}
\frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} (regra da cadeia)
\frac{d}{dx}(x y) = x\,\frac{dy}{dx} + y (produto)
\frac{d}{dx}(7)=0
Logo, a derivada da soma dá
3x^{2} \;+\; 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} \;-\;\bigl(x\,\tfrac{dy}{dx}+y\bigr)\;=\;0.

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm \frac{dy}{dx}:
3x^{2} \;+\; 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} \;-\;x\,\frac{dy}{dx}\;-\;y \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (3y^{2}-x)\,\frac{dy}{dx} + (3x^{2}-y) = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{y - 3x^{2}}{3y^{2} - x}.

Passo 4

Basta agora avaliar em P=(1,2):
\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,2)} = \frac{2 - 3\cdot1^{2}}{3\cdot2^{2} - 1} = \frac{2 - 3}{12 - 1} = \frac{-1}{11}.

Resposta

O coeficiente angular da tangente à curva em P=(1,2) é -\tfrac{1}{11}.

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