Achar f_{x}^{\prime}(1 ; 2 ; 0), f_{y}^{\prime}(1 ; 2 ; 0), f_{z}^{\prime}(1 ; 2 ; 0), se
f(x, y, z)=\ln (x y+z) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y,z)=\ln(xy+z)
em relação a x, y e z no ponto (1,2,0).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia aplicada à função logarítmica.

Passo 2

Usamos que, para u(x,y,z)=xy+z, tem-se
f(x,y,z)=\ln(u)
e
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{xy+z}\;y
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{xy+z}\;x
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{1}{xy+z}\;1

Passo 3

Agora avaliamos cada parcial em (x,y,z)=(1,2,0), onde xy+z=1\cdot2+0=2:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,0) =\frac{2}{2}=1
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,0) =\frac{1}{2}
\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,0) =\frac{1}{2}

Resposta

\displaystyle f_{x}'(1,2,0)=1 \displaystyle f_{y}'(1,2,0)=\tfrac{1}{2} \displaystyle f_{z}'(1,2,0)=\tfrac{1}{2}

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