Comprovar o teorema de Euler sobre as funções homogêneas (Nos. 1816-1819).
f(x, y)=A x^{2}+2 B x y+C y^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para comprovar o Teorema de Euler para funções homogêneas, usando como exemplo
f(x,y)=A x^{2}+2Bxy+C y^{2}.
Vamos precisar da definição de função homogênea e da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Mostrar que f é homogênea de grau 2: para todo \lambda\in\mathbb{R},
f(\lambda x,\lambda y) = A(\lambda x)^{2} + 2B(\lambda x)(\lambda y) + C(\lambda y)^{2} = \lambda^{2}\bigl(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}\bigr) = \lambda^{2}f(x,y).

Passo 3

Diferenciando em relação a \lambda e aplicando a regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{d\lambda}f(\lambda x,\lambda y) = f_{x}(\lambda x,\lambda y)\,x \;+\; f_{y}(\lambda x,\lambda y)\,y
por um lado, e
\frac{d}{d\lambda}\bigl(\lambda^{2}f(x,y)\bigr) = 2\lambda\,f(x,y)
por outro.

Passo 4

Tomando \lambda=1 nas duas expressões, conclui-se
x\,f_{x}(x,y) \;+\; y\,f_{y}(x,y) = 2\,f(x,y),
que é exatamente a fórmula de Euler para funções homogêneas de grau 2.

Passo 5

Para verificar diretamente, calculemos as derivadas parciais:
f_{x}(x,y)=2Ax+2By, \quad f_{y}(x,y)=2Bx+2Cy.
Logo,
x\,f_{x}+y\,f_{y} = x(2Ax+2By)+y(2Bx+2Cy) =2Ax^{2}+4Bxy+2Cy^{2} =2\bigl(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}\bigr) =2f(x,y).

Resposta

x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y} =2\,f(x,y).

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