Achar as inclinações das curvas a seguir, nos pontos indicados nos exercícios de 12 a 14.
y=-4 x^{2}+2 x em x=2

Resolução:

\frac{d y}{d x}=-8 x+2
Para x=2 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-8.2+2=-14

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado: pede a inclinação da curva (ou seja, a derivada, o coeficiente angular da reta tangente) da função y=-4x^{2}+2x no ponto onde x=2. A informação relevante é a própria função \;y=-4x^{2}+2x\; e o valor de x em que devemos avaliar a inclinação: \;x=2\;.

Passo 2

O que significa “inclinação da curva” aqui: é o valor da derivada \dfrac{dy}{dx} da função naquele ponto. A derivada em um ponto dá a taxa de variação instantânea da função — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto. Para encontrar essa inclinação, primeiro calculamos a expressão geral da derivada \dfrac{dy}{dx} e depois substituímos x=2.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de um jeito simples):
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se y=u+v, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
  • Regra do poder (power rule): para f(x)=x^{n}, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo na função \;y=-4x^{2}+2x\;:
  • Derivada de -4x^{2}: a constante -4 sai na frente e derivamos x^{2} usando a regra do poder:
\frac{d}{dx}(-4x^{2})=-4\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=-4\cdot(2x)=-8x
  • Derivada de 2x: é uma constante 2 vezes x, e \dfrac{d}{dx}x=1, logo
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot 1=2
Somando os dois resultados, a derivada geral é
\frac{dy}{dx}=-8x+2

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x=2. Substituir x=2 em \dfrac{dy}{dx}=-8x+2:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2}=-8\cdot 2 + 2 = -16 + 2 = -14
Portanto a inclinação da curva no ponto onde x=2 é -14.

Passo 6

Interpretação prática e como usar isso numa prova: a inclinação negativa grande ( -14) significa que, naquele ponto, ao aumentar x um pouco, y diminui rapidamente. Se quiser a equação da reta tangente para fazer um esboço rápido, calcule também o ponto da curva em x=2:
y(2) = -4\cdot 2^{2} + 2\cdot 2 = -16 + 4 = -12.
A reta tangente em (2,-12) com coeficiente angular m=-14 é dada por
y - (-12) = -14\big(x-2\big),
ou seja,
y = -14x + 16.
Mas se a questão só pede a inclinação, o valor é -14.

Resposta

-14

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