(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=\sqrt[3]{3+10 x^{3}} \frac{10 x^{2}}{\sqrt[3]{\left(3+10 x^{3}\right)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é
y=\sqrt[3]{3+10 x^{3}} \,\frac{10 x^{2}}{\sqrt[3]{\left(3+10 x^{3}\right)^{2}}}.
  • Precisa-se encontrar y' em termos de x.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica antes de derivar — isso facilita muito o trabalho na hora da prova. Lembre que \sqrt[3]{a}=a^{1/3} e \sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}. Portanto:
\sqrt[3]{3+10x^3}\;\frac{1}{\sqrt[3]{(3+10x^3)^2}} =(3+10x^3)^{1/3}\,(3+10x^3)^{-2/3}=(3+10x^3)^{-1/3}.
Substituindo na definição de y obtemos a forma simplificada
y=10x^2\,(3+10x^3)^{-1/3}.
Essa forma é mais simples para derivar: é um produto entre 10x^2 e (3+10x^3)^{-1/3}.

Passo 3

Agora explico quais regras vou usar e o porquê — e te ensino como elas funcionam, devagar e sem pânico:
  • Regra do produto: se y=u(x)\,v(x), então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são as duas funções que se multiplicam; u' é a derivada de u e v' a derivada de v.
  • Regra da potência composta (power + chain rule): se v(x) = [h(x)]^{n} com n constante, então
v'(x)=n\,[h(x)]^{n-1}\,h'(x).
Nesse caso h(x) é a função interna e h'(x) a sua derivada. Essa é a chain rule aplicada à potência.
No nosso problema tomamos
u(x)=10x^2,\qquad v(x)=(3+10x^3)^{-1/3}.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais pedidas, passo a passo.
  1. Derivada de u(x)=10x^2. Aplicando a regra da potência simples ( \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}):
u'(x)=10\cdot 2x=20x.
  1. Derivada de v(x)=(3+10x^3)^{-1/3}. Aqui uso a regra da potência composta com n=-\tfrac{1}{3} e h(x)=3+10x^3.
  • Primeiro h'(x)=\dfrac{d}{dx}(3+10x^3)=30x^2.
  • Aplicando a fórmula:
v'(x)=\left(-\tfrac{1}{3}\right)(3+10x^3)^{-1/3-1}\cdot 30x^2 =\left(-\tfrac{1}{3}\right)(3+10x^3)^{-4/3}\cdot 30x^2.
  • Simplificando o coeficiente: \left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot 30 = -10. Logo
v'(x)=-10x^2\,(3+10x^3)^{-4/3}.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto y'=u'v+uv' e simplifico passo a passo.
Substituindo u,u',v,v':
y' = 20x\,(3+10x^3)^{-1/3} + 10x^2\bigl(-10x^2(3+10x^3)^{-4/3}\bigr).
Escrevendo de forma mais limpa:
y' = 20x\,(3+10x^3)^{-1/3} - 100x^4\,(3+10x^3)^{-4/3}.
Para simplificar, fatoro o termo comum 20x\,(3+10x^3)^{-4/3}. Observe que
(3+10x^3)^{-1/3} = (3+10x^3)^{-4/3}\,(3+10x^3)^{1},
portanto
y' = 20x\,(3+10x^3)^{-4/3}\Bigl((3+10x^3) - 5x^3\Bigr),
pois -100x^4 = 20x\cdot(-5x^3). Simplificando o interior do parêntese:
(3+10x^3)-5x^3 = 3 + 5x^3.
Logo a forma final simplificada é
y'=20x\,(3+10x^3)^{-4/3}\,(3+5x^3).
Se preferir sem expoentes negativos, pode-se escrever
y'=\dfrac{20x(3+5x^3)}{(3+10x^3)^{4/3}}.

Resposta

\displaystyle y'=20x\,(3+10x^3)^{-4/3}\,(3+5x^3)

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