(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
- Precisa-se encontrar
em termos de .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica antes de derivar — isso facilita muito o trabalho na hora da prova. Lembre que
e
. Portanto:
Substituindo na definição de
obtemos a forma simplificada
Essa forma é mais simples para derivar: é um produto entre
e
.
Passo 3
Agora explico quais regras vou usar e o porquê — e te ensino como elas funcionam, devagar e sem pânico:
- Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são as duas funções que se multiplicam;
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Regra da potência composta (power + chain rule): se
com constante, então
Nesse caso
é a função interna e
a sua derivada. Essa é a chain rule aplicada à potência.
No nosso problema tomamos
Passo 4
Calculo as derivadas parciais pedidas, passo a passo.
- Derivada de
. Aplicando a regra da potência simples ( ):
- Derivada de
. Aqui uso a regra da potência composta com e .
- Primeiro
. - Aplicando a fórmula:
- Simplificando o coeficiente:
. Logo
Passo 5
Agora aplico a regra do produto
e simplifico passo a passo.
Substituindo
:
Escrevendo de forma mais limpa:
Para simplificar, fatoro o termo comum
. Observe que
portanto
pois
. Simplificando o interior do parêntese:
Logo a forma final simplificada é
Se preferir sem expoentes negativos, pode-se escrever