Achar as inclinações das curvas a seguir, nos pontos indicados nos exercícios de 12 a 14.
y=2 x^{2}-x em x=-2

Resolução:

\frac{d y}{d x}=4 x-1
Para x=-2 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=4(-2)-1=-9

Passo 1

O enunciado dá a função y=2x^{2}-x e pede a inclinação da curva no ponto em que x=-2.
Informações relevantes:
  • Função: y=2x^{2}-x.
  • Ponto pedido: x=-2.
  • O que se quer: a inclinação da curva naquele ponto, isto é, o valor da derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada em x=-2.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado devagarinho):
  • A inclinação da curva num ponto é a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Essa inclinação é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Definição (intuição): \dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}. Isso mede a razão de variação de y em relação a x quando x sofre uma pequena variação h.
  • Regra prática (muito usada e rápida na prova): regra do poder (power rule). Para um monômio x^{n} com n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido e didático: para x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
  • Linearidade: se há uma constante multiplicando uma função, tira-se a constante: \dfrac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x). E a derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas.

Passo 3

Aplicando as regras à função dada:
  • A função é y=2x^{2}-x. Vamos derivar termo a termo.
  • Derivada do primeiro termo 2x^{2}: usa-se fator constante 2 e a regra do poder para x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\cdot(2x)=4x.
  • Derivada do segundo termo -x: a derivada de x é 1, então
\frac{d}{dx}\bigl(-x\bigr)=-1.
  • Somando as derivadas dos termos:
\frac{dy}{dx}=4x-1.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=-2 (mostrar substituição passo a passo):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-2}=4(-2)-1=-8-1.

Passo 5

Interpretação rápida (motivação para lembrar na prova):
  • Um resultado negativo significa que a reta tangente está decrescendo ali — a curva desce quando x aumenta naquele ponto.
  • O valor -9 (que está na resposta) indica uma inclinação bem acentuada para baixo; na prova, é suficiente fazer derivada rápida e substituir como fizemos.

Resposta

-9

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