Achar as inclinações das curvas a seguir, nos pontos indicados nos exercícios de 12 a 14.
em
Resolução:
Para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a inclinação da curva no ponto em que
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto pedido:
. - O que se quer: a inclinação da curva naquele ponto, isto é, o valor da derivada
avaliada em .
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicado devagarinho):
- A inclinação da curva num ponto é a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Essa inclinação é dada pela derivada
. - Definição (intuição):
. Isso mede a razão de variação de em relação a quando sofre uma pequena variação . - Regra prática (muito usada e rápida na prova): regra do poder (power rule). Para um monômio
com inteiro positivo,
Exemplo rápido e didático: para
,
- Linearidade: se há uma constante multiplicando uma função, tira-se a constante:
. E a derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas.
Passo 3
Aplicando as regras à função dada:
- A função é
. Vamos derivar termo a termo. - Derivada do primeiro termo
: usa-se fator constante e a regra do poder para :
- Derivada do segundo termo
: a derivada de é , então
- Somando as derivadas dos termos:
Passo 4
Avaliar a derivada em
(mostrar substituição passo a passo):
Passo 5
Interpretação rápida (motivação para lembrar na prova):
- Um resultado negativo significa que a reta tangente está decrescendo ali — a curva desce quando
aumenta naquele ponto. - O valor
(que está na resposta) indica uma inclinação bem acentuada para baixo; na prova, é suficiente fazer derivada rápida e substituir como fizemos.