Determine o ponto (
) da curva
em que a reta tangente tem inclinação de
.
Resolução:
A derivada da função resulta na inclinação da reta tangente. Então:
A inclinação é a tangente do ângulo de inclinação, então, nesse caso, inclinação é igual a 1, então.
Então o ponto é
A inclinação é a tangente do ângulo de inclinação, então, nesse caso, inclinação é igual a 1, então.
Então o ponto é
Passo 1
O enunciado nos dá claramente:
- A curva:
. - Pede-se: o ponto
dessa curva em que a reta tangente tem inclinação de . - Informação importante: o ângulo de inclinação da reta tangente é
.
Passo 2
Entender o que liga a curva à reta tangente (a ideia que vou usar).
- Quando se fala da “reta tangente” a uma curva em um ponto, o que interessa é a inclinação dessa reta naquele ponto.
- Em cálculo, a inclinação da reta tangente a uma curva definida por
no ponto é dada pela derivada avaliada naquele .
Agora aplicando isso à função dada: precisamos calcular a derivada de. - Regra usada: a regra do poder (power rule): a derivada de
é . - Regra do fator constante: a derivada de
é .
Aplicando:
Passo 3
Relacionar inclinação com ângulo.
- A inclinação (declive) da reta é o número
igual à tangente do ângulo de inclinação: . - Para
vale
Logo a reta tangente deve ter inclinação
.
Passo 4
Igualar a derivada à inclinação desejada e resolver para
.
- Temos
e queremos que isso valha , então
- Isolando
:
Passo 5
Calcular
correspondente, substituindo na equação da curva.
- Substituir
em :
- Calcular passo a passo:
- Portanto o valor de
é .
Passo 6
(Comentário prático para a prova — como escrever a reta tangente se pedirem)
- A equação da reta tangente no ponto
pode ser escrita como
- Aqui
, e . Assim a reta tangente seria
ou seja
. (Só para lembrar como apresentar a reta se pedirem.)