Determine o ponto ( x, y ) da curva y=4 x^{2} em que a reta tangente tem inclinação de 45^{\circ}.

Resolução:

A derivada da função resulta na inclinação da reta tangente. Então:
\frac{d y}{d x}=8 x
A inclinação é a tangente do ângulo de inclinação, então, nesse caso, inclinação é igual a 1, então.
\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=8 \mathrm{x}=1 \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{1}{8}
\operatorname{Para} x=\frac{1}{8} \Rightarrow y=4 \cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{2} \Rightarrow y=\frac{1}{16}
Então o ponto é \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{16}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá claramente:
  • A curva: y=4x^{2}.
  • Pede-se: o ponto (x,y) dessa curva em que a reta tangente tem inclinação de 45^\circ.
  • Informação importante: o ângulo de inclinação da reta tangente é \,45^\circ.

Passo 2

Entender o que liga a curva à reta tangente (a ideia que vou usar).
  • Quando se fala da “reta tangente” a uma curva em um ponto, o que interessa é a inclinação dessa reta naquele ponto.
  • Em cálculo, a inclinação da reta tangente a uma curva definida por y=f(x) no ponto x é dada pela derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada naquele x.
    Agora aplicando isso à função dada: precisamos calcular a derivada de y=4x^{2}.
  • Regra usada: a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Regra do fator constante: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x).
    Aplicando:
\frac{dy}{dx}=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=4\cdot(2x)=8x.

Passo 3

Relacionar inclinação com ângulo.
  • A inclinação (declive) da reta é o número m igual à tangente do ângulo de inclinação: m=\tan(\theta).
  • Para \theta=45^\circ vale
\tan\bigl(45^\circ\bigr)=1.
Logo a reta tangente deve ter inclinação m=1.

Passo 4

Igualar a derivada à inclinação desejada e resolver para x.
  • Temos \dfrac{dy}{dx}=8x e queremos que isso valha 1, então
8x=1.
  • Isolando x:
x=\frac{1}{8}.

Passo 5

Calcular y correspondente, substituindo na equação da curva.
  • Substituir x=\dfrac{1}{8} em y=4x^{2}:
y=4\left(\frac{1}{8}\right)^{2}.
  • Calcular passo a passo:
\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}, \qquad 4\cdot\frac{1}{64}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}.
  • Portanto o valor de y é \dfrac{1}{16}.

Passo 6

(Comentário prático para a prova — como escrever a reta tangente se pedirem)
  • A equação da reta tangente no ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) pode ser escrita como
y-y_{0}=y'(x_{0})\,(x-x_{0}).
  • Aqui x_{0}=\dfrac{1}{8}, y_{0}=\dfrac{1}{16} e y'(x_{0})=1. Assim a reta tangente seria
y-\frac{1}{16}=1\cdot\Bigl(x-\frac{1}{8}\Bigr),
ou seja y=x-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=x-\dfrac{1}{16}. (Só para lembrar como apresentar a reta se pedirem.)

Resposta

\left(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16}\right)

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