Achar
se:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para achar a integral definida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma constante (implicitamente: inteiro ou real; veremos a hipótese necessária). - A função
é a derivada da função . - O objetivo é calcular a integral definida de
entre 1 e .
Observação sobre domínio: a fórmula
é válida sem surpresas para
inteiro; para
real exige
. Como o intervalo de integração começa em
, estamos seguros se considerarmos
ou
inteiro. Vou trabalhar com essa hipótese implícita (caso usual em provas).
Passo 2
A primeira ação é identificar explicitamente
. Pela regra do poder (power rule) para derivadas, temos
portanto
Breve justificativa da regra do poder (intuição): usando a definição do derivada,
Expandindo
pela fórmula do binômio de Newton (quando
é inteiro positivo) aparecem termos
Dividindo por
e fazendo
, só sobra
. Para
real a fundamentação usa propriedades da função potência em
, e o resultado é o mesmo.
Passo 3
Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte), que diz o seguinte, de forma simples e prática:
se é uma primitiva de
(ou seja,
para todo
no intervalo), então
se
No nosso caso, como acabamos de ver, uma primitiva de
é
, porque
. Além disso
é contínua no intervalo (por ser derivada de
), portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
e
, obtemos
Como
para qualquer
, isto simplifica para
Exemplos rápidos para conferir a intuição:
- Se
, então e . - Se
, então e , e a fórmula dá , OK.