Achar \int_{1}^{x} f(t) d t se:
(a) \frac{d x^{n}}{d x}=f(x)

Passo 1

O enunciado dá a informação
\frac{d}{dx}x^{n}=f(x)
e pede para achar a integral definida
\int_{1}^{x} f(t)\,dt.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • n é uma constante (implicitamente: inteiro ou real; veremos a hipótese necessária).
  • A função f é a derivada da função t\mapsto t^{n}.
  • O objetivo é calcular a integral definida de f entre 1 e x.
Observação sobre domínio: a fórmula \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1} é válida sem surpresas para n inteiro; para n real exige t>0. Como o intervalo de integração começa em 1>0, estamos seguros se considerarmos x>0 ou n inteiro. Vou trabalhar com essa hipótese implícita (caso usual em provas).

Passo 2

A primeira ação é identificar explicitamente f(t). Pela regra do poder (power rule) para derivadas, temos
\frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1},
portanto
f(t)=n t^{n-1}.
Breve justificativa da regra do poder (intuição): usando a definição do derivada,
\frac{d}{dt}t^{n}=\lim_{h\to0}\frac{(t+h)^{n}-t^{n}}{h}.
Expandindo (t+h)^{n} pela fórmula do binômio de Newton (quando n é inteiro positivo) aparecem termos
(t+h)^{n}=t^{n}+n t^{n-1}h+\text{(termos com fator }h^{2}\text{)}.
Dividindo por h e fazendo h\to0, só sobra n t^{n-1}. Para n real a fundamentação usa propriedades da função potência em (0,\infty), e o resultado é o mesmo.

Passo 3

Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte), que diz o seguinte, de forma simples e prática:
se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(t)=f(t) para todo t no intervalo), então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
No nosso caso, como acabamos de ver, uma primitiva de f(t)=n t^{n-1} é F(t)=t^{n}, porque F'(t)=n t^{n-1}=f(t). Além disso f é contínua no intervalo (por ser derivada de t^{n}), portanto as hipóteses do teorema são satisfeitas.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(t)=t^{n}, a=1 e b=x, obtemos
\int_{1}^{x} f(t)\,dt = \int_{1}^{x} n t^{n-1}\,dt = F(x)-F(1)=x^{n}-1^{n}.
Como 1^{n}=1 para qualquer n, isto simplifica para
\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^{n}-1.
Exemplos rápidos para conferir a intuição:
  • Se n=2, então f(t)=2t e \int_{1}^{x}2t\,dt = [t^{2}]_{1}^{x}=x^{2}-1.
  • Se n=0, então f(t)=0 e \int_{1}^{x}0\,dt=0, e a fórmula dá x^{0}-1=1-1=0, OK.

Resposta

x^{n}-1

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