Verdade ou Falso:
tem
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se é verdade ou falso que
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A integral tem limites que dependem de
: limite inferior e limite superior . - A função integranda é
. - Deve-se ter cuidado em
porque aí os limites envolvem onde não é definida; a derivada será tratada para . - A pergunta é apenas “Verdadeiro ou falso” — portanto preciso decidir se
é igual a zero ou não (e, se for útil, mostrar o valor correto).
Passo 2
Vou usar uma regra geral (que vou explicar com calma): se
então, pela Regra de Leibniz (que vem do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia),
Explicando devagar:
- Primeiro considere a primitiva
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, . - Se
, então, pela regra da cadeia,
Cada termo tem sentido: o valor de
no limite multiplicado pela taxa de variação desse limite.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
-
. -
e . -
e .
Logo
Calculemos cada pedaço:
Então
Para subtrair as frações, coloque o denominador comum
:
Portanto, para
,
Isso não é zero (exceto, hipoteticamente, no limite
, mas a igualdade com zero para todo
é falsa).
Passo 4
Para reforçar e deixar mais seguro, faz sentido verificar com cálculo direto da integral (uma segunda via):
- Uma antiderivada de
é , porque . - Então
Somando as frações:
Derivando
dá
mesmo resultado. Então está confirmado: a derivada não é zero (para
).
Uma observação final amigável: não se assuste se à primeira vista a integral parecer “simétrica” e dar ideia de cancelamento — aqui os limites escalam de forma diferente e produz uma dependência em
. Boa! Continua firme que isso era bem típico de prova.
Resposta
Falso.
(para
).