Verdade ou Falso:
A(x)=\int_{2 x}^{3 x} \frac{d t}{t^{2}} tem \frac{d A}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
A(x)=\int_{2x}^{3x}\frac{dt}{t^{2}}
e pergunta se é verdade ou falso que \dfrac{dA}{dx}=0.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A integral tem limites que dependem de x: limite inferior a(x)=2x e limite superior b(x)=3x.
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{1}{t^{2}}.
  • Deve-se ter cuidado em x=0 porque aí os limites envolvem t=0 onde f não é definida; a derivada será tratada para x\neq0.
  • A pergunta é apenas “Verdadeiro ou falso” — portanto preciso decidir se \dfrac{dA}{dx} é igual a zero ou não (e, se for útil, mostrar o valor correto).

Passo 2

Vou usar uma regra geral (que vou explicar com calma): se
A(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, pela Regra de Leibniz (que vem do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia),
\frac{dA}{dx}=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicando devagar:
  • Primeiro considere a primitiva F(u)=\int_{c}^{u} f(t)\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(u)=f(u).
  • Se A(x)=F(b(x))-F(a(x)), então, pela regra da cadeia,
\frac{dA}{dx}=F'(b(x))\,b'(x)-F'(a(x))\,a'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x).
Cada termo tem sentido: o valor de f no limite multiplicado pela taxa de variação desse limite.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
  • f(t)=\dfrac{1}{t^{2}}.
  • b(x)=3x e b'(x)=3.
  • a(x)=2x e a'(x)=2.
Logo
\frac{dA}{dx}=f(3x)\cdot 3 - f(2x)\cdot 2.
Calculemos cada pedaço:
f(3x)=\frac{1}{(3x)^{2}}=\frac{1}{9x^{2}}, \qquad f(2x)=\frac{1}{(2x)^{2}}=\frac{1}{4x^{2}}.
Então
\frac{dA}{dx}=3\cdot\frac{1}{9x^{2}}-2\cdot\frac{1}{4x^{2}} =\frac{3}{9x^{2}}-\frac{2}{4x^{2}} =\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{2x^{2}}.
Para subtrair as frações, coloque o denominador comum 6x^{2}:
\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{2x^{2}}=\frac{2}{6x^{2}}-\frac{3}{6x^{2}}=\frac{-1}{6x^{2}}.
Portanto, para x\neq0,
\frac{dA}{dx}=-\frac{1}{6x^{2}}.
Isso não é zero (exceto, hipoteticamente, no limite x\to\infty, mas a igualdade com zero para todo x é falsa).

Passo 4

Para reforçar e deixar mais seguro, faz sentido verificar com cálculo direto da integral (uma segunda via):
  • Uma antiderivada de t^{-2} é -t^{-1}, porque \dfrac{d}{dt}(-t^{-1})=t^{-2}.
  • Então
A(x)=\left[-\frac{1}{t}\right]_{2x}^{3x}=-\frac{1}{3x}-\left(-\frac{1}{2x}\right)=-\frac{1}{3x}+\frac{1}{2x}.
Somando as frações:
A(x)=\frac{-2+3}{6x}=\frac{1}{6x}.
Derivando A(x)=\dfrac{1}{6x}=\dfrac{1}{6}x^{-1}
\frac{dA}{dx}=\frac{1}{6}\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{1}{6x^{2}},
mesmo resultado. Então está confirmado: a derivada não é zero (para x\neq0).
Uma observação final amigável: não se assuste se à primeira vista a integral parecer “simétrica” e dar ideia de cancelamento — aqui os limites escalam de forma diferente e produz uma dependência em x. Boa! Continua firme que isso era bem típico de prova.

Resposta

Falso. \dfrac{dA}{dx}=-\dfrac{1}{6x^{2}} (para x\neq0).

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