Verdade ou Falso:
Toda antiderivada tem derivada.
Toda antiderivada tem derivada.
Passo 1
O que a questão pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Verdadeiro ou Falso: “Toda antiderivada tem derivada.”
Informações dadas: nenhuma além da própria frase. O objetivo é analisar o sentido das palavras “antiderivada” e “derivada” e concluir se a afirmação é correta.
Passo 2
Definição clara e simples de antiderivada (primitiva): uma função
é chamada de antiderivada de uma função
num intervalo
quando, por definição,
é diferenciável em
e
Expliquei palavra a palavra:
- “Diferenciável” significa que o limite que define a derivada existe em cada ponto do intervalo; ou seja, a derivada
existe para todo . - A igualdade
é exatamente a relação que faz ser uma antiderivada de .
Consequência direta da definição: como a definição de antiderivada exige que
seja diferenciável, qualquer antiderivada tem, por construção, derivada (a própria
existe). Logo, logicamente, a afirmação “Toda antiderivada tem derivada” segue imediatamente da definição de antiderivada.
Passo 3
Um exemplo concreto para fixar: seja
. Uma antiderivada de
é
, porque
é diferenciável e
Aqui fica claro:
tem derivada e essa derivada é exatamente
.
Passo 4
Possíveis confusões comuns (explicadas sem formalismo técnico):
- Às vezes alguém fala de “uma função que é integral de outra” sem checar diferenciabilidade; mas se chamamos explicitamente de “antiderivada” ou “primitiva”, estamos já garantindo diferenciabilidade, porque isso faz parte da definição.
- Existem funções que não têm antiderivada (por exemplo, funções sem propriedade de Darboux que uma derivada precisa ter), mas isso não contradiz a afirmação: quando uma antiderivada existe, ela é diferenciável.
Passo 5
Resumo argumentativo curto: definição de antiderivada = função diferenciável cuja derivada é a função dada. Portanto a propriedade “ter derivada” está embutida na definição de antiderivada; por isso a frase é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro