Verdade ou Falso:
Toda antiderivada tem derivada.

Passo 1

O que a questão pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Verdadeiro ou Falso: “Toda antiderivada tem derivada.”
Informações dadas: nenhuma além da própria frase. O objetivo é analisar o sentido das palavras “antiderivada” e “derivada” e concluir se a afirmação é correta.

Passo 2

Definição clara e simples de antiderivada (primitiva): uma função F é chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I quando, por definição, F é diferenciável em I e
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in I.
Expliquei palavra a palavra:
  • “Diferenciável” significa que o limite que define a derivada existe em cada ponto do intervalo; ou seja, a derivada F'(x) existe para todo x\in I.
  • A igualdade F'(x)=f(x) é exatamente a relação que faz F ser uma antiderivada de f.
Consequência direta da definição: como a definição de antiderivada exige que F seja diferenciável, qualquer antiderivada tem, por construção, derivada (a própria F' existe). Logo, logicamente, a afirmação “Toda antiderivada tem derivada” segue imediatamente da definição de antiderivada.

Passo 3

Um exemplo concreto para fixar: seja f(x)=2x. Uma antiderivada de f é F(x)=x^2, porque F é diferenciável e
F'(x)=\frac{d}{dx}x^2=2x=f(x).
Aqui fica claro: F tem derivada e essa derivada é exatamente f.

Passo 4

Possíveis confusões comuns (explicadas sem formalismo técnico):
  • Às vezes alguém fala de “uma função que é integral de outra” sem checar diferenciabilidade; mas se chamamos explicitamente de “antiderivada” ou “primitiva”, estamos já garantindo diferenciabilidade, porque isso faz parte da definição.
  • Existem funções que não têm antiderivada (por exemplo, funções sem propriedade de Darboux que uma derivada precisa ter), mas isso não contradiz a afirmação: quando uma antiderivada existe, ela é diferenciável.

Passo 5

Resumo argumentativo curto: definição de antiderivada = função diferenciável cuja derivada é a função dada. Portanto a propriedade “ter derivada” está embutida na definição de antiderivada; por isso a frase é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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