Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{(x ; y) \rightarrow(0 ; 0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) * \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Isso é um limite de função de duas variáveis cujo valor só depende da distância ao ponto (0,0). Vamos usar uma mudança de variável para transformar num limite de uma variável só.

Passo 2

Mudança para variável radial
Defina
t = x^{2}+y^{2},
que satisfaz t\ge0. Quando (x,y)\to(0,0), temos t\to0^{+}. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =\lim_{t\to0^{+}}t\ln t.

Passo 3

Cálculo de \lim_{t\to0^{+}}t\ln t por L’Hôpital
Observe que, ao escrever
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t},
a forma é “ -\infty/\infty”, então aplicamos L’Hôpital:
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln t}{1/t} \;\underset{\text{L’H}}{=}\; \lim_{t\to0^{+}}\frac{(1/t)}{(-1/t^{2})} =\lim_{t\to0^{+}}(-t) =0.

Resposta

0

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