Achar a linearização de f(x)=\sqrt{x} em a=1, para usá-la para dar uma aproximação de \sqrt{0.99} e \sqrt{1,01}.

Passo 1

O enunciado pede a linearização de f(x)=\sqrt{x} em a=1 para aproximar \sqrt{0,99} e \sqrt{1,01}. Vamos usar o conceito de linearização (aproximação pela reta tangente):
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).

Passo 2

Calculamos f(1) e f'(1). Como
f(x)=\sqrt{x},\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
temos
f(1)=1,\quad f'(1)=\frac{1}{2}.
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L(x)=1+\frac{1}{2}\,(x-1).

Passo 3

Para \sqrt{0,99} usamos x=0,99:
L(0,99)=1+\tfrac{1}{2}(0,99-1)=1+\tfrac{1}{2}(-0,01)=1-0,005=0,995.

Passo 4

Para \sqrt{1,01} usamos x=1,01:
L(1,01)=1+\tfrac{1}{2}(1,01-1)=1+\tfrac{1}{2}(0,01)=1+0,005=1,005.

Resposta

\sqrt{0,99}\approx0,995
\sqrt{1,01}\approx1,005

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