Em que intervalo(s)a funçăo f(x)=x-\frac{100}{10-x} é decrescente?
a. (0,20)
b. (-\infty, 10) \cup(10,+\infty)
d. (-\infty, 0) \cup(20,+\infty)
e.A função năo é decrescente em nenhum intervalo

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=x-\dfrac{100}{10-x}
e queremos encontrar os intervalos em que f é decrescente. O conteúdo envolvido é estudo de monotonia de funções, ou seja, calculo da derivada e solução de desigualdade f'(x)<0.

Passo 2

Vamos calcular f'(x). Primeiro note que
-\frac{100}{10-x}=\frac{100}{x-10},
portanto podemos reescrever
f(x)=x+\frac{100}{x-10}.
Derivando termo a termo, obtemos
f'(x)=1-\frac{100}{(x-10)^2}.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade
f'(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\frac{100}{(x-10)^2}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{100}{(x-10)^2}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-10)^2<100.
Da última expressão vem
-10<x-10<10 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<20.
Lembrando que o domínio de f exclui x=10, a função é decrescente em (0,10) e em (10,20).

Passo 4

Juntando os dois ramos, f é decrescente para todo x em (0,20) (exceto o ponto 10, onde não está definida). Entre as alternativas dadas, isso corresponde a

Resposta

a. (0,20)

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