Achar a linearização de f(x)=\left(1+5 x^{4}\right)^{\frac{1}{3}} em a=0

Passo 1

O enunciado pede a linearização de
f(x) = \bigl(1 + 5x^{4}\bigr)^{\tfrac{1}{3}}
no ponto a = 0. O conteúdo aqui é aproximação linear (reta tangente) de funções diferenciáveis. Para isso, vamos usar a fórmula
L(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a)
e portanto precisamos calcular f(0) e f'(0).

Passo 2

Calcular f(0):
f(0) = \bigl(1 + 5\cdot 0^{4}\bigr)^{\tfrac{1}{3}} = 1^{\tfrac{1}{3}} = 1.

Passo 3

Derivar f(x) usando a regra da cadeia. Seja u(x)=1+5x^{4}, então
f(x) = u(x)^{\tfrac{1}{3}} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = \tfrac{1}{3}\,u(x)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot u'(x).
Como u'(x)=20x^{3}, vem
f'(x) = \frac{1}{3}\,(1+5x^{4})^{-\tfrac{2}{3}}\cdot 20x^{3} = \frac{20}{3}\,x^{3}\,(1+5x^{4})^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Avaliar f'(0):
f'(0) = \frac{20}{3}\,0^{3}\,(1+5\cdot 0^{4})^{-\tfrac{2}{3}} = 0.

Passo 5

Montar a linearização em a=0:
L(x) = f(0) + f'(0)\,(x-0) = 1 + 0\cdot x = 1.

Resposta

L(x) = 1

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