Achar o maior inteiro positivo pelo qual se devem dividir os inteiros 160,198 e 370 para que os restos sejam respectivamente 7, 11 e 13.

Passo 1

O enunciado dá três divisões com o mesmo divisor desconhecido d e quer o maior inteiro positivo possível para d. Dados:
  • Ao dividir 160 por d o resto é 7.
  • Ao dividir 198 por d o resto é 11.
  • Ao dividir 370 por d o resto é 13.
O que se pede: encontrar o maior inteiro positivo d que satisfaça essas três condições simultaneamente.

Passo 2

Observação-chave (fórmula usada): se um inteiro N dividido por d deixa resto r, então existe um quociente inteiro q tal que
N = d q + r.
Daí segue que
N - r = d q,
ou seja, d divide exatamente N-r. Essa é a ideia que vamos usar: d deve dividir cada um de N-r para os três dados.

Passo 3

Aplicando isso aos três casos do enunciado, obtemos os números que devem ser múltiplos de d:
160-7=153, \qquad 198-11=187, \qquad 370-13=357.
Portanto d deve dividir simultaneamente 153, 187 e 357.

Passo 4

Então d é um divisor comum de 153, 187 e 357. O maior possível é o máximo divisor comum (MDC, ou \gcd) desses três números. Vamos calcular \gcd(153,187,357). Antes, há uma condição extra: cada resto é menor que o divisor, logo devemos ter d>7, d>11 e d>13. Em particular é preciso d>13. Depois confirmamos essa condição no final.

Passo 5

Cálculo do \gcd usando o algoritmo de Euclides (passo a passo, sem pular contas).
Primeiro \gcd(153,187):
187 = 153\cdot1 + 34.
153 = 34\cdot4 + 17.
34 = 17\cdot2 + 0.
Como o resto chegou a 0, o último divisor não-nulo é o \gcd: \gcd(153,187)=17.

Passo 6

Agora \gcd(17,357):
357 = 17\cdot21 + 0.
Logo \gcd(17,357)=17. Assim
\gcd(153,187,357)=17.

Passo 7

Verificação da condição dos restos: precisamos de d>13. Como 17>13, a condição é satisfeita. Portanto d=17 é um divisor comum válido e, por ser o \gcd, é o maior possível.

Resposta

17

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