Achar o maior inteiro positivo pelo qual se devem dividir os inteiros 160,198 e 370 para que os restos sejam respectivamente 7,
.
Passo 1
O enunciado dá três divisões com o mesmo divisor desconhecido
e quer o maior inteiro positivo possível para
. Dados:
- Ao dividir
por o resto é . - Ao dividir
por o resto é . - Ao dividir
por o resto é .
O que se pede: encontrar o maior inteiro positivo
que satisfaça essas três condições simultaneamente.
Passo 2
Observação-chave (fórmula usada): se um inteiro
dividido por
deixa resto
, então existe um quociente inteiro
tal que
Daí segue que
ou seja,
divide exatamente
. Essa é a ideia que vamos usar:
deve dividir cada um de
para os três dados.
Passo 3
Aplicando isso aos três casos do enunciado, obtemos os números que devem ser múltiplos de
:
Portanto
deve dividir simultaneamente
,
e
.
Passo 4
Então
é um divisor comum de
,
e
. O maior possível é o máximo divisor comum (MDC, ou
) desses três números. Vamos calcular
. Antes, há uma condição extra: cada resto é menor que o divisor, logo devemos ter
,
e
. Em particular é preciso
. Depois confirmamos essa condição no final.
Passo 5
Cálculo do
usando o algoritmo de Euclides (passo a passo, sem pular contas).
Primeiro
:
Como o resto chegou a
, o último divisor não-nulo é o
:
.
Passo 6
Agora
:
Logo
. Assim
Passo 7
Verificação da condição dos restos: precisamos de
. Como
, a condição é satisfeita. Portanto
é um divisor comum válido e, por ser o
, é o maior possível.