Sendo
um número inteiro qualquer, calcular o mdc (
).
Passo 1
O enunciado dá um número inteiro qualquer
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é um número inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero). - A expressão cujo máximo divisor comum quer-se encontrar é o par
. - Não há outros dados numéricos; a resposta deve valer para todo inteiro
.
Passo 2
Definição básica (para deixar tudo claro):
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
.
Explicando termos:
Explicando termos:
- Escrever
significa que divide , isto é, existe um inteiro tal que . - A convenção é que o
é sempre um inteiro não negativo (normalmente positivo, salvo o caso que não aparece aqui).
Passo 3
Uma propriedade elementar de divisibilidade (que vamos usar) é: se
e
, então
.
Prova curta dessa propriedade:
Prova curta dessa propriedade:
- Se
então existe inteiro com . - Se
então existe inteiro com . - Subtraindo:
, logo .
Passo 4
Agora aplico essa propriedade ao nosso par
. Seja
qualquer divisor comum de
e
; ou seja, suponha
e
. Pela propriedade do passo anterior segue que
Mas
. Portanto
.
Passo 5
Quais são os divisores inteiros de
? São apenas
e
. Como
toma o maior divisor positivo comum, concluímos que qualquer divisor comum positivo
de
e
deve ser
. Logo o maior divisor comum é
.
Observação sobre sinais e casos extremos: a demonstração usou apenas propriedades de divisibilidade e a diferença , que vale para todo inteiro
. Mesmo que
seja negativo ou zero, a conclusão permanece válida porque
e os passos acima ainda mostram que qualquer divisor comum positivo divide
. Portanto a conclusão é geral para todo inteiro
.
Observação sobre sinais e casos extremos: a demonstração usou apenas propriedades de divisibilidade e a diferença