Sendo \boldsymbol{n} um número inteiro qualquer, calcular o mdc ( n, n+1 ).

Passo 1

O enunciado dá um número inteiro qualquer n e pede para calcular \mathrm{mdc}(n,n+1).
Informações relevantes fornecidas:
  • n é um número inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero).
  • A expressão cujo máximo divisor comum quer-se encontrar é o par \bigl(n,\;n+1\bigr).
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve valer para todo inteiro n.

Passo 2

Definição básica (para deixar tudo claro): \mathrm{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
Explicando termos:
  • Escrever d\mid a significa que d divide a, isto é, existe um inteiro k tal que a = d\cdot k.
  • A convenção é que o \mathrm{mdc} é sempre um inteiro não negativo (normalmente positivo, salvo o caso a=b=0 que não aparece aqui).

Passo 3

Uma propriedade elementar de divisibilidade (que vamos usar) é: se d\mid a e d\mid b, então d\mid(b-a).
Prova curta dessa propriedade:
  • Se d\mid a então existe inteiro k com a=d\cdot k.
  • Se d\mid b então existe inteiro m com b=d\cdot m.
  • Subtraindo: b-a = d\cdot m - d\cdot k = d\cdot(m-k), logo d\mid(b-a).

Passo 4

Agora aplico essa propriedade ao nosso par \bigl(n,\;n+1\bigr). Seja d qualquer divisor comum de n e n+1; ou seja, suponha d\mid n e d\mid(n+1). Pela propriedade do passo anterior segue que
d\mid\bigl((n+1)-n\bigr).
Mas (n+1)-n = 1. Portanto d\mid 1.

Passo 5

Quais são os divisores inteiros de 1? São apenas 1 e -1. Como \mathrm{mdc} toma o maior divisor positivo comum, concluímos que qualquer divisor comum positivo d de n e n+1 deve ser 1. Logo o maior divisor comum é 1.
Observação sobre sinais e casos extremos: a demonstração usou apenas propriedades de divisibilidade e a diferença (n+1)-n=1, que vale para todo inteiro n. Mesmo que n seja negativo ou zero, a conclusão permanece válida porque \mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(|a|,|b|) e os passos acima ainda mostram que qualquer divisor comum positivo divide 1. Portanto a conclusão é geral para todo inteiro n.

Resposta

\mathrm{mdc}(n,n+1)=1

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