1. Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para,utilizando a regra \frac{1}{3} de Simpson, obter:
\int_{0}^{\pi / 2} e^{-x} \cos (x) d x
com erro inferior a 10-3.

Passo 1

O enunciado pede: achar o número mínimo de intervalos que se pode usar, aplicando a regra de Simpson \tfrac{1}{3} composta, para aproximar
\int_{0}^{\pi/2} e^{-x}\cos(x)\,dx
com erro menor que 10^{-3}. Informações dadas e essenciais: o integrando é f(x)=e^{-x}\cos(x), o intervalo é [0,\pi/2] e a tolerância no erro é 10^{-3}. Não foi dado número de subintervalos — devemos determinar o menor n compatível com a condição de erro. Nota importante: a regra composta de Simpson exige que n seja um número par (intervalos pares).

Passo 2

Apresento a fórmula de cota do erro para a regra composta de Simpson (aquela que usamos na prova): se h=(b-a)/n e f tem derivada quarta contínua em [a,b], então existe \xi\in[a,b] tal que o erro E_S da regra composta de Simpson satisfaz
|E_S|\le \frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Explicando: aqui (b-a) é o comprimento do intervalo total, h é o tamanho de cada subintervalo, h^{4} mostra que o erro cai muito rápido com h, e \max |f^{(4)}| é o maior valor absoluto da quarta derivada no intervalo — precisamos estimá-lo para aplicar a cota. Outra forma equivalente da cota, substituindo h=(b-a)/n, é
|E_S|\le \frac{(b-a)^{5}}{180\,n^{4}}\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Vou usar essa forma porque facilita resolver para n.

Passo 3

Calculo as derivadas até a quarta de f(x)=e^{-x}\cos x, mostrando passo a passo como faço as contas (é um padrão que vale para funções do tipo e^{ax} vezes função trigonométrica):
Começo com f(x)=e^{-x}\cos x.
Derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)\cos x + e^{-x}\frac{d}{dx}(\cos x) = -e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x = e^{-x}\big(-\cos x - \sin x\big).
Para organizar, chamo g(x)=-\cos x-\sin x. Então f'(x)=e^{-x}g(x).
Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}g(x)\big) = -e^{-x}g(x)+e^{-x}g'(x) = e^{-x}\big(g'(x)-g(x)\big).
Agora g'(x)=\sin x - \cos x. Então
g'(x)-g(x)=(\sin x - \cos x)-(-\cos x - \sin x)=2\sin x.
Logo
f''(x)=2e^{-x}\sin x.
Derivada terceira:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(2e^{-x}\sin x\big)= -2e^{-x}\sin x + 2e^{-x}\cos x = 2e^{-x}(\cos x - \sin x).
Derivada quarta:
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big(2e^{-x}(\cos x - \sin x)\big) = 2\big(-e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x)\big).
Faço o interior com calma:
- (\cos x - \sin x) + (-\sin x - \cos x) = -\cos x + \sin x -\sin x -\cos x = -2\cos x.
Portanto
f^{(4)}(x)=2e^{-x}(-2\cos x) = -4 e^{-x}\cos x.
Resumo: \;f^{(4)}(x)=-4e^{-x}\cos x.

Passo 4

Estimamos \max_{x\in[0,\pi/2]}|f^{(4)}(x)|. Observação: em [0,\pi/2] temos \cos x\ge 0, e e^{-x}>0, portanto
|f^{(4)}(x)|=|-4e^{-x}\cos x|=4e^{-x}\cos x.
Tanto e^{-x} quanto \cos x são funções decrescentes em [0,\pi/2], logo o produto e^{-x}\cos x também é decrescente ali, portanto atinge seu máximo no extremo esquerdo x=0. Assim
\max_{x\in[0,\pi/2]}|f^{(4)}(x)| = |f^{(4)}(0)| = 4 e^{0}\cos 0 = 4.

Passo 5

Agora uso a cota do Passo 2 com a=0, b=\pi/2, \max|f^{(4)}|=4. Lembrando a forma
|E_S|\le \frac{(b-a)^{5}}{180\,n^{4}}\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|,
substituo:
|E_S|\le \frac{\big(\tfrac{\pi}{2}-0\big)^{5}}{180\,n^{4}}\cdot 4 = \frac{4\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{180\,n^{4}}.
Simplifico o fator numérico 4/180=1/45, obtendo
|E_S|\le \frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{45\,n^{4}}.
Queremos que isso seja menor que 10^{-3}. Portanto exigimos
\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{45\,n^{4}}<10^{-3}.

Passo 6

Resolvo a desigualdade para n. Multiplico ambos os lados por 45\,n^{4} e divido por 10^{-3}:
n^{4}>\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{45\cdot 10^{-3}}.
Escrevo o denominador 45\cdot 10^{-3}=0,045. Agora faço a conta numérica controlada. Primeiro \left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}=\dfrac{\pi^{5}}{2^{5}}=\dfrac{\pi^{5}}{32}. Usando \pi^{5}\approx 306{,}01968 (valor aproximado),
\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}\approx \frac{306{,}01968}{32}\approx 9{,}56249.
Então
\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{0,045}\approx \frac{9{,}56249}{0,045}\approx 212{,}4998.
Logo precisamos de
n^{4}>212{,}4998.
Tomo a raiz quarta (ou raiz quadrada duas vezes). Primeiro raiz quadrada:
\sqrt{212{,}4998}\approx 14{,}584.
Outra raiz quadrada:
\sqrt{14{,}584}\approx 3{,}819.
Portanto
n>3{,}819\ldots

Passo 7

Lembrando a exigência prática: n é número de subintervalos e a regra composta de Simpson exige n par. O menor inteiro maior que 3{,}819 é 4, e 4 é par, então é admissível. Concluímos que com n=4 subintervalos a cota garante erro menor que 10^{-3}. Verificação rápida: para n=4 temos
\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{5}}{45\,4^{4}} = \frac{9{,}56249}{45\cdot 256} \approx \frac{9{,}56249}{11{,}520} \approx 8{,}30\times 10^{-4}<10^{-3},
confirmando que n=4 é suficiente.

Resposta

n=4 subintervalos

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