- Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para,utilizando a regra
de Simpson, obter:
com erro inferior a 10-3.
Passo 1
O enunciado pede: achar o número mínimo de intervalos que se pode usar, aplicando a regra de Simpson
composta, para aproximar
com erro menor que
. Informações dadas e essenciais: o integrando é
, o intervalo é
e a tolerância no erro é
. Não foi dado número de subintervalos — devemos determinar o menor
compatível com a condição de erro. Nota importante: a regra composta de Simpson exige que
seja um número par (intervalos pares).
Passo 2
Apresento a fórmula de cota do erro para a regra composta de Simpson (aquela que usamos na prova): se
e
tem derivada quarta contínua em
, então existe
tal que o erro
da regra composta de Simpson satisfaz
Explicando: aqui
é o comprimento do intervalo total,
é o tamanho de cada subintervalo,
mostra que o erro cai muito rápido com
, e
é o maior valor absoluto da quarta derivada no intervalo — precisamos estimá-lo para aplicar a cota. Outra forma equivalente da cota, substituindo
, é
Vou usar essa forma porque facilita resolver para
.
Passo 3
Calculo as derivadas até a quarta de
, mostrando passo a passo como faço as contas (é um padrão que vale para funções do tipo
vezes função trigonométrica):
Começo com
.
Derivada primeira:
Para organizar, chamo
. Então
.
Derivada segunda:
Agora
. Então
Logo
Derivada terceira:
Derivada quarta:
Faço o interior com calma:
Portanto
Resumo:
Passo 4
Estimamos
. Observação: em
temos
, e
, portanto
Tanto
quanto
são funções decrescentes em
, logo o produto
também é decrescente ali, portanto atinge seu máximo no extremo esquerdo
. Assim
Passo 5
Agora uso a cota do Passo 2 com
,
,
. Lembrando a forma
substituo:
Simplifico o fator numérico
, obtendo
Queremos que isso seja menor que
. Portanto exigimos
Passo 6
Resolvo a desigualdade para
. Multiplico ambos os lados por
e divido por
:
Escrevo o denominador
. Agora faço a conta numérica controlada. Primeiro
. Usando
(valor aproximado),
Então
Logo precisamos de
Tomo a raiz quarta (ou raiz quadrada duas vezes). Primeiro raiz quadrada:
Outra raiz quadrada:
Portanto
Passo 7
Lembrando a exigência prática:
é número de subintervalos e a regra composta de Simpson exige
par. O menor inteiro maior que
é
, e
é par, então é admissível. Concluímos que com
subintervalos a cota garante erro menor que
. Verificação rápida: para
temos
confirmando que
é suficiente.