- Pela regra do trapézio, encontre o valor de
. Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio. Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que
?
Passo 1
O enunciado pede três coisas aplicadas à integral
(observe que
, então os limites são
e
):
- Aplicar a regra do trapézio com
para obter uma aproximação da integral. - Calcular uma estimativa (limite superior) para o erro usando a fórmula de erro da regra do trapézio.
- Determinar quantas subdivisões
são necessárias para que o erro estimado seja menor que .
Informações dadas e que vamos usar:
Passo 2
Apresento a fórmula da regra do trapézio e explico cada termo (aula rápida e prática):
A regra do trapézio com
subintervalos usa o passo
Os nós são
, para
. A fórmula é
O que significa cada coisa:
-
é a largura de cada subintervalo. -
e são as alturas nas extremidades. - A soma com fator
conta as alturas das abscissas internas (cada uma aparece em dois trapézios).
Essa fórmula é bem prática na prova: primeiro calcule, depois as , some e multiplique.
Passo 3
Calculo de
e dos nós para
:
Como
, os nós são
Passo 4
Avalio
em cada nó (uso frações exatas para poder fazer contas sem perda):
A soma das alturas internas (para
a
) é
Para deixar exato, calculo essa soma com denominador comum
:
Somando:
Passo 5
Aplico a fórmula do trapézio com
:
Substituindo as frações:
Faço as contas racionais passo a passo:
logo
Em forma decimal (útil para comparação):
Passo 6
Agora a estimativa para o erro (fórmula do erro do trapézio) e explicação:
A fórmula de erro para a regra do trapézio (limite superior) é
Primeiro calculamos
para
:
Em
a função
é decrescente, então
.
Substituindo
e
:
Para
obtemos
Portanto a estimativa (limite superior) do erro com
é
. (Esse limite é conservador — às vezes bem folgado — mas é a garantia teórica.)
Passo 7
Para entendimento e comparação rápida, calculo o valor exato da integral e o erro real (opcional, mas pedagógico):
A integral exata:
O erro real com
é
Repare que o erro real
é bem menor que o limite teórico
, mas ainda relativamente grande para aplicações que exigem alta precisão.
Passo 8
Agora respondo: quantas subdivisões
precisamos para garantir erro menor que
usando o limite teórico?
Queremos
Resolvo para
:
Como
deve ser inteiro, tomamos o menor inteiro maior que isso:
Logo, usando a fórmula de erro do trapézio e garantindo o erro teórico
, precisamos de pelo menos
subdivisões.
Resposta
Estimativa do erro (limite teórico) com
Número de subdivisões exigido para