1. Pela regra do trapézio, encontre o valor de
\equiv_{\frac{7}{7}}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
\operatorname{com} \mathrm{n}=6. Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio. Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que 0,001=10-3 ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas aplicadas à integral
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx
(observe que \tfrac{7}{7}=1, então os limites são a=1 e b=7):
  1. Aplicar a regra do trapézio com n=6 para obter uma aproximação da integral.
  2. Calcular uma estimativa (limite superior) para o erro usando a fórmula de erro da regra do trapézio.
  3. Determinar quantas subdivisões n são necessárias para que o erro estimado seja menor que 0,001.
Informações dadas e que vamos usar:
a=1,\quad b=7,\quad f(x)=\frac{1}{x^{2}},\quad n=6,\quad \varepsilon=0,001.

Passo 2

Apresento a fórmula da regra do trapézio e explico cada termo (aula rápida e prática):
A regra do trapézio com n subintervalos usa o passo
h=\frac{b-a}{n}.
Os nós são x_k=a+k h, para k=0,1,\dots,n. A fórmula é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\Big).
O que significa cada coisa:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • f(a) e f(b) são as alturas nas extremidades.
  • A soma com fator 2 conta as alturas das abscissas internas (cada uma aparece em dois trapézios).
    Essa fórmula é bem prática na prova: primeiro calcule h, depois as f(x_k), some e multiplique.

Passo 3

Calculo de h e dos nós para n=6:
h=\frac{7-1}{6}=1.
Como h=1, os nós são
x_0=1,\; x_1=2,\; x_2=3,\; x_3=4,\; x_4=5,\; x_5=6,\; x_6=7.

Passo 4

Avalio f(x)=x^{-2} em cada nó (uso frações exatas para poder fazer contas sem perda):
f(1)=1,\; f(2)=\tfrac{1}{4},\; f(3)=\tfrac{1}{9},\; f(4)=\tfrac{1}{16},\; f(5)=\tfrac{1}{25},\; f(6)=\tfrac{1}{36},\; f(7)=\tfrac{1}{49}.
A soma das alturas internas (para k=1 a 5) é
\sum_{k=1}^{5} f(x_k)=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}.
Para deixar exato, calculo essa soma com denominador comum 3600:
\frac{1}{4}=\frac{900}{3600},\;\frac{1}{9}=\frac{400}{3600},\;\frac{1}{16}=\frac{225}{3600}, \;\frac{1}{25}=\frac{144}{3600},\;\frac{1}{36}=\frac{100}{3600}.
Somando:
\sum_{k=1}^{5} f(x_k)=\frac{900+400+225+144+100}{3600}=\frac{1769}{3600}.

Passo 5

Aplico a fórmula do trapézio com h=1:
T_6=\frac{1}{2}\Big(f(1)+f(7)+2\sum_{k=1}^{5} f(x_k)\Big).
Substituindo as frações:
T_6=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{49}+2\cdot\frac{1769}{3600}\Big).
Faço as contas racionais passo a passo:
2\cdot\frac{1769}{3600}=\frac{3538}{3600}=\frac{1769}{1800},
1+\frac{1769}{1800}=\frac{1800+1769}{1800}=\frac{3569}{1800},
\frac{3569}{1800}+\frac{1}{49}=\frac{3569\cdot 49 + 1800}{1800\cdot 49}=\frac{174881+1800}{88200}=\frac{176681}{88200},
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T_6=\frac{1}{2}\cdot\frac{176681}{88200}=\frac{176681}{176400}.
Em forma decimal (útil para comparação):
T_6=\frac{176681}{176400}\approx 1,00159297.

Passo 6

Agora a estimativa para o erro (fórmula do erro do trapézio) e explicação:
A fórmula de erro para a regra do trapézio (limite superior) é
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^{2}}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Primeiro calculamos f''(x) para f(x)=x^{-2}:
f'(x)=-2x^{-3},\qquad f''(x)=6x^{-4}.
Em [1,7] a função x^{-4} é decrescente, então \max_{[1,7]} f''(x)=f''(1)=6.
Substituindo b-a=6 e \max|f''|=6:
|E_T|\le \frac{6^{3}}{12\,n^{2}}\cdot 6=\frac{216\cdot 6}{12\,n^{2}}=\frac{108}{n^{2}}.
Para n=6 obtemos
|E_T|\le \frac{108}{6^{2}}=\frac{108}{36}=3.
Portanto a estimativa (limite superior) do erro com n=6 é 3. (Esse limite é conservador — às vezes bem folgado — mas é a garantia teórica.)

Passo 7

Para entendimento e comparação rápida, calculo o valor exato da integral e o erro real (opcional, mas pedagógico):
A integral exata:
\int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\big[-x^{-1}\big]_{1}^{7}=-\frac{1}{7}+1=\frac{6}{7}\approx 0,85714286.
O erro real com T_6 é
E_{\text{real}}=T_6-\frac{6}{7}=\frac{176681}{176400}-\frac{6}{7}=\frac{25481}{176400}\approx 0,14445011.
Repare que o erro real \approx 0,14445 é bem menor que o limite teórico 3, mas ainda relativamente grande para aplicações que exigem alta precisão.

Passo 8

Agora respondo: quantas subdivisões n precisamos para garantir erro menor que 0,001 usando o limite teórico?
Queremos
\frac{108}{n^{2}}<0,001.
Resolvo para n:
n^{2}>\frac{108}{0,001}=108000,
n>\sqrt{108000}\approx 328,024.
Como n deve ser inteiro, tomamos o menor inteiro maior que isso:
n=329.
Logo, usando a fórmula de erro do trapézio e garantindo o erro teórico <0,001, precisamos de pelo menos 329 subdivisões.

Resposta

T_{6}=\dfrac{176681}{176400}\approx 1,00159297.\n
Estimativa do erro (limite teórico) com n=6: |E_T|\le 3.\n
Número de subdivisões exigido para |E_T|<0,001: n=329.

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