1. Pelo método do 3 de Simpson, resolva
\int_{0}^{0,6} \frac{d x}{1+x}
\operatorname{com} \mathrm{h}=0,1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{0,6} \frac{dx}{1+x}
usando o método do 3 de Simpson (regra composta de 3/8) com passo h=0,1. Informações dadas:
  • Integrando: \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}.
  • Intervalo: [a,b]=[0,0,6].
  • Passo: h=0,1.
  • Vamos usar os nós x_i = a + i h para i=0,1,\dots,n.

Passo 2

Primeiro entendemos qual fórmula vamos aplicar (a explicação é passo a passo, como se fosse na prova):
A regra composta de 3/8 de Simpson exige que o número de subintervalos n seja múltiplo de 3. Se n=3m, a aproximação é dada por
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\left(f_0 + f_n + 3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-3} f_i\right),
onde f_i = f(x_i) e x_i = a + i h.
Explicando cada parte:
  • \frac{3h}{8} é o fator comum que surge da integração dos polinômios cúbicos em cada grupo de três subintervalos.
  • O termo f_0+f_n são os valores nos extremos.
  • O somatório com coeficiente 3 soma os f_i cujos índices não são múltiplos de 3 (ou seja, os pontos internos que não fecham um bloco de três).
  • O somatório com coeficiente 2 soma os f_i cujos índices são múltiplos de 3, exceto os extremos.

Passo 3

Calculemos n:
n=\frac{b-a}{h}=\frac{0,6-0}{0,1}=6.
Como n=6 é múltiplo de 3 ( 6=3\cdot 2 ), podemos aplicar a regra composta de 3/8.

Passo 4

Listamos os nós x_i:
x_0=0,\; x_1=0,1,\; x_2=0,2,\; x_3=0,3,\; x_4=0,4,\; x_5=0,5,\; x_6=0,6.

Passo 5

Calculamos os valores f_i=f(x_i)=\dfrac{1}{1+x_i}. Sempre que possível usaremos frações exatas (facilita contas sem calculadora):
\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{1+0} = 1,\\[4pt] f_1 &= \frac{1}{1+0,1} = \frac{1}{1,1} = \frac{10}{11},\\[4pt] f_2 &= \frac{1}{1+0,2} = \frac{1}{1,2} = \frac{5}{6},\\[4pt] f_3 &= \frac{1}{1+0,3} = \frac{1}{1,3} = \frac{10}{13},\\[4pt] f_4 &= \frac{1}{1+0,4} = \frac{1}{1,4} = \frac{5}{7},\\[4pt] f_5 &= \frac{1}{1+0,5} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3},\\[4pt] f_6 &= \frac{1}{1+0,6} = \frac{1}{1,6} = \frac{5}{8}. \end{aligned}]

Passo 6

Agora separamos os índices conforme a fórmula:
  • Índices múltiplos de 3 interiores: i=3. Logo a soma com coeficiente 2 é apenas f_3.
  • Índices não múltiplos de 3 entre 1 e 5: i=1,2,4,5. A soma com coeficiente 3 é f_1+f_2+f_4+f_5.
Calculemos essas somas exatamente:
\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{5} f_i = f_1+f_2+f_4+f_5 = \frac{10}{11}+\frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{2}{3}.
Para somar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum de 11,6,7,3 é 462. Então
\frac{10}{11}=\frac{420}{462},\quad \frac{5}{6}=\frac{385}{462},\quad \frac{5}{7}=\frac{330}{462},\quad \frac{2}{3}=\frac{308}{462}.
Somando os numeradores:
420+385+330+308 = 1443.
Portanto
f_1+f_2+f_4+f_5=\frac{1443}{462}=\frac{481}{154}.
E a soma dos i múltiplos de 3 (exceto extremos) é
f_3=\frac{10}{13}.

Passo 7

Aplicamos a fórmula composta de 3/8. Substituindo:
\int_0^{0,6} \frac{dx}{1+x} \approx \frac{3h}{8}\Big(f_0+f_6 + 3(f_1+f_2+f_4+f_5) + 2 f_3\Big).
Substituindo os valores exatos e h=\tfrac{1}{10} (ou 0,1):
\begin{aligned} \text{interior} &= f_0+f_6 + 3\cdot\frac{1443}{462} + 2\cdot\frac{10}{13}\\[4pt] &= \frac{13}{8} + \frac{1443\cdot 3}{462} + \frac{20}{13}. \end{aligned}
Calculamos 3h/8 em forma fracionária:
\frac{3h}{8}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{80}.
Continuando com números racionais exatos para manter precisão: colocamos todos os termos do interior sobre o denominador comum 8008 (que é o mmc de 8,154,13):
\frac{13}{8}=\frac{13013}{8008},\quad \frac{1443\cdot 3}{462}=\frac{75036}{8008},\quad \frac{20}{13}=\frac{12320}{8008}.
Somando:
\text{interior}=\frac{100369}{8008}.
Multiplicando por \dfrac{3}{80}:
\frac{3}{80}\cdot\frac{100369}{8008}=\frac{301107}{640640}.]

Passo 8

Convertendo para decimal (para facilitar interpretação numérica), usando vírgula como separador decimal:
\frac{301107}{640640}\approx 0,4700097\quad(\text{aprox. }7\text{ casas decimais}).
Observação rápida (só pra te animar): o valor exato da integral é \ln(1,6)\approx 0,4700036, então a aproximação pelo método de 3/8 com h=0,1 ficou muito próxima.

Resposta

\displaystyle \frac{301107}{640640}\approx 0,4700097

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