- Pelo método do 3 de Simpson, resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando o método do 3 de Simpson (regra composta de
) com passo
. Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo:
. - Passo:
. - Vamos usar os nós
para .
Passo 2
Primeiro entendemos qual fórmula vamos aplicar (a explicação é passo a passo, como se fosse na prova):
A regra composta de
de Simpson exige que o número de subintervalos
seja múltiplo de
. Se
, a aproximação é dada por
onde
e
.
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
é o fator comum que surge da integração dos polinômios cúbicos em cada grupo de três subintervalos. - O termo
são os valores nos extremos. - O somatório com coeficiente
soma os cujos índices não são múltiplos de (ou seja, os pontos internos que não fecham um bloco de três). - O somatório com coeficiente
soma os cujos índices são múltiplos de , exceto os extremos.
Passo 3
Calculemos
:
Como
é múltiplo de
(
), podemos aplicar a regra composta de
.
Passo 4
Listamos os nós
:
Passo 5
Calculamos os valores
. Sempre que possível usaremos frações exatas (facilita contas sem calculadora):
Passo 6
Agora separamos os índices conforme a fórmula:
- Índices múltiplos de
interiores: . Logo a soma com coeficiente é apenas . - Índices não múltiplos de
entre e : . A soma com coeficiente é .
Calculemos essas somas exatamente:
Para somar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum de
é
. Então
Somando os numeradores:
Portanto
E a soma dos
múltiplos de
(exceto extremos) é
Passo 7
Aplicamos a fórmula composta de
. Substituindo:
Substituindo os valores exatos e
(ou
):
Calculamos
em forma fracionária:
Continuando com números racionais exatos para manter precisão: colocamos todos os termos do interior sobre o denominador comum
(que é o mmc de
):
Somando:
Multiplicando por
:
Passo 8
Convertendo para decimal (para facilitar interpretação numérica), usando vírgula como separador decimal:
Observação rápida (só pra te animar): o valor exato da integral é
, então a aproximação pelo método de
com
ficou muito próxima.