- A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente foi tabelada como se segue:
0
5
10
15
20
és
0
80,6
180,1
341,6
528,4
Calcule:
a. Calcule uma aproximação para a integral usando 10 subintervalos pelo método de
de Simpson.
b. Estime o erro cometido.
c. Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
?
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
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0 | 80,6 | 180,1 | 341,6 | 528,4 |
a. Calcule uma aproximação para a integral usando 10 subintervalos pelo método de
b. Estime o erro cometido.
c. Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
O enunciado dá a velocidade do foguete em certos instantes e pede três coisas:
- Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
- Perguntas:
(a) Calcular uma aproximação parausando 10 subintervalos pelo método de de Simpson.
(b) Estimar o erro cometido nessa aproximação.
(c) Determinar o número mínimo de subdivisões para que o erro seja inferior a.
Passo 2
Antes de calcular, precisamos checar se temos dados suficientes para aplicar Simpson com
.
- Para aplicar a regra composta de Simpson com
precisamos de valores de em nós igualmente espaçados em . Nesse caso o passo seria
e os nós seriam
.
- A tabela do enunciado fornece apenas os valores em
(ou seja, 5 pontos, espaçamento ). Portanto falta informação: não temos os valores de em e não é correto “inventá-los”. - Logo: não é possível aplicar diretamente a regra composta de Simpson com
usando somente os dados fornecidos. - Para prosseguir com uma aproximação a partir dos dados dados (sem inventar valores), a escolha mais natural e básica é aplicar a regra composta de Simpson com os nós que temos, isto é com
subintervalos (passo ). Vou fazer isso e estimar o erro com base nesses dados.
Passo 3
Apresentando a regra composta de Simpson (aula rápida):
- Se temos um intervalo
dividido em subintervalos iguais com par e , a regra composta de Simpson diz
- Aqui
, . O padrão é coeficiente 1 nas pontas, 4 nos índices ímpares internos e 2 nos pares internos. - As variáveis:
é a largura de cada subintervalo; são os valores da função nos nós.
Aplicando com os dados que temos:
- Tomando
(porque os dados estão em 5 pontos igualmente espaçados), temos
- Os valores (vou chamar
):
- Agora aplico a fórmula de Simpson composta para
:
Calculemos passo a passo os somatórios:
Soma total:
Multiplicando por
:
Ou arredondando:
(pés).
Passo 4
Estimativa do erro (aula sobre o erro de Simpson) e cálculo:
- Fórmula de cota para o erro da regra composta de Simpson: existe
tal que
onde
e
é a quarta derivada de
. Portanto uma cota uniforme é
- Para estimar
sem conhecimento analítico de , podemos aproximar a partir das diferenças finitas de quarta ordem, porque os pontos são igualmente espaçados. Para as cinco amostras dadas (passo ) calculei as diferenças finitas: -
- Primeiras diferenças:
- Segundas diferenças:
- Terceiras diferenças:
- Quarta diferença:
-
- Para nós igualmente espaçados, uma boa aproximação é
Com
temos
, logo
e podemos tomar
.
- Agora a cota do erro com
e (aqui ):
Calcule:
Portanto a cota do erro para a aproximação feita é cerca de
(pés). Observação: essa é uma estimativa baseada em diferenças finitas; a cota real pode ser menor, mas essa é uma cota segura com os dados disponíveis.
Passo 5
Responder a (c): número mínimo de subdivisões para erro <
.
- Queremos
. - Substituindo
, e :
- Simplificando:
- Calculando numericamente:
Com
obtemos o lado direito aproximadamente
. Então
- Simpson exige
par; portanto o menor inteiro par que satisfaz é . - Conclusão: com a estimativa de
obtida a partir dos dados, precisamos de pelo menos subintervalos para garantir a cota de erro .
Resposta
(a) Não é possível aplicar Simpson 1/3 com
subintervalos usando só os dados fornecidos (faltam os valores em nós intermédios). Usando Simpson composto com os dados disponíveis (
,
) a aproximação é
(pés).
(b) Estimativa da cota do erro (com base em diferenças finitas para ):
(pés).
(c) Usando a estimativa de acima, o número mínimo de subintervalos (par) para ter erro
é
.
(b) Estimativa da cota do erro (com base em diferenças finitas para
(c) Usando a estimativa de