1. A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente foi tabelada como se segue:
\mathrm{t}(\mathrm{s}) 0 5 10 15 20
\mathrm{~V}(\mathrm{p} és / \mathrm{s}) 0 80,6 180,1 341,6 528,4
Calcule:
a. Calcule uma aproximação para a integral usando 10 subintervalos pelo método de 1 / 3 de Simpson.
b. Estime o erro cometido.
c. Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^{-3} ?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do foguete em certos instantes e pede três coisas:
  • Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} t(\mathrm{s}) & 0 & 5 & 10 & 15 & 20\\hline v(\text{pés/s}) & 0 & 80,6 & 180,1 & 341,6 & 528,4 \end{array}é
  • Perguntas:
    (a) Calcular uma aproximação para \displaystyle \int_{0}^{20} v(t)\,dt usando 10 subintervalos pelo método de 1/3 de Simpson.
    (b) Estimar o erro cometido nessa aproximação.
    (c) Determinar o número mínimo de subdivisões para que o erro seja inferior a 10^{-3}.

Passo 2

Antes de calcular, precisamos checar se temos dados suficientes para aplicar Simpson com n=10.
  • Para aplicar a regra composta de Simpson com n=10 precisamos de n+1=11 valores de v(t) em nós igualmente espaçados em [0,20]. Nesse caso o passo seria
h=\frac{20-0}{10}=2,
e os nós seriam t=0,2,4,\dots,20.
  • A tabela do enunciado fornece apenas os valores em t=0,5,10,15,20 (ou seja, 5 pontos, espaçamento 5). Portanto falta informação: não temos os valores de v(t) em t=2,4,6,\dots e não é correto “inventá-los”.
  • Logo: não é possível aplicar diretamente a regra composta de Simpson com n=10 usando somente os dados fornecidos.
  • Para prosseguir com uma aproximação a partir dos dados dados (sem inventar valores), a escolha mais natural e básica é aplicar a regra composta de Simpson com os nós que temos, isto é com n=4 subintervalos (passo h=5). Vou fazer isso e estimar o erro com base nesses dados.

Passo 3

Apresentando a regra composta de Simpson (aula rápida):
  • Se temos um intervalo [a,b] dividido em n subintervalos iguais com n par e h=(b-a)/n, a regra composta de Simpson diz
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Big).
  • Aqui x_0=a, x_n=b. O padrão é coeficiente 1 nas pontas, 4 nos índices ímpares internos e 2 nos pares internos.
  • As variáveis: h é a largura de cada subintervalo; f(x_i) são os valores da função nos nós.
Aplicando com os dados que temos:
  • Tomando n=4 (porque os dados estão em 5 pontos igualmente espaçados), temos
h=\frac{20-0}{4}=5.
  • Os valores (vou chamar f_i=v(t_i)):
f_0=v(0)=0,\quad f_1=v(5)=80,6,\quad f_2=v(10)=180,1,
f_3=v(15)=341,6,\quad f_4=v(20)=528,4.
  • Agora aplico a fórmula de Simpson composta para n=4:
\int_0^{20} v(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\big(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\big).
Calculemos passo a passo os somatórios:
f_0+f_4 = 0 + 528{,}4 = 528{,}4,
4(f_1+f_3) = 4(80{,}6+341{,}6)=4(422{,}2)=1688{,}8,
2f_2 = 2\cdot 180{,}1 = 360{,}2.
Soma total:
528{,}4 + 1688{,}8 + 360{,}2 = 2577{,}4.
Multiplicando por h/3=5/3:
\int_0^{20} v(t)\,dt \approx \frac{5}{3}\cdot 2577{,}4 = 4295{,}666\overline{6}.
Ou arredondando: 4295{,}667 (pés).

Passo 4

Estimativa do erro (aula sobre o erro de Simpson) e cálculo:
  • Fórmula de cota para o erro da regra composta de Simpson: existe \xi\in[a,b] tal que
E_S = \int_a^b f(x)\,dx - S_n = -\frac{(b-a)}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\xi),
onde h=(b-a)/n e f^{(4)} é a quarta derivada de f. Portanto uma cota uniforme é
|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\,\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|=: \frac{b-a}{180}\,h^4\,M_4.
  • Para estimar M_4 sem conhecimento analítico de v(t), podemos aproximar f^{(4)} a partir das diferenças finitas de quarta ordem, porque os pontos são igualmente espaçados. Para as cinco amostras dadas (passo h=5) calculei as diferenças finitas:
    • f_0=0,\; f_1=80{,}6,\; f_2=180{,}1,\; f_3=341{,}6,\; f_4=528{,}4.
    • Primeiras diferenças: \Delta f_0=80{,}6,\quad \Delta f_1=99{,}5,\quad \Delta f_2=161{,}5,\quad \Delta f_3=186{,}8.
    • Segundas diferenças: \Delta^2 f_0=18{,}9,\quad \Delta^2 f_1=62{,}0,\quad \Delta^2 f_2=25{,}3.
    • Terceiras diferenças: \Delta^3 f_0=43{,}1,\quad \Delta^3 f_1=-36{,}7.
    • Quarta diferença: \Delta^4 f_0 = -79{,}8.
  • Para nós igualmente espaçados, uma boa aproximação é
f^{(4)}\approx \frac{\Delta^4 f_0}{h^4}.
Com h=5 temos h^4=625, logo
f^{(4)}(\xi)\approx \frac{-79{,}8}{625} = -0{,}12768,
e podemos tomar M_4\approx 0{,}12768.
  • Agora a cota do erro com n=4 e h=5 (aqui b-a=20):
|E_S|\le \frac{20}{180}\,5^4\,M_4 = \frac{20}{180}\cdot 625\cdot 0{,}12768.
Calcule:
\frac{20}{180}=\frac{1}{9},\quad 625\cdot 0{,}12768 = 79{,}8,
|E_S|\le \frac{1}{9}\cdot 79{,}8 \approx 8{,}866\overline{6}.
Portanto a cota do erro para a aproximação feita é cerca de 8{,}867 (pés). Observação: essa é uma estimativa baseada em diferenças finitas; a cota real pode ser menor, mas essa é uma cota segura com os dados disponíveis.

Passo 5

Responder a (c): número mínimo de subdivisões para erro < 10^{-3}.
  • Queremos |E_S| \le \dfrac{b-a}{180} h^4 M_4 < 10^{-3}.
  • Substituindo b-a=20, h=(20)/n e M_4\approx 0{,}12768:
\frac{20}{180}\left(\frac{20}{n}\right)^4 M_4 < 10^{-3}.
  • Simplificando:
\frac{1}{9}\cdot \frac{20^4}{n^4}\cdot M_4 < 10^{-3}.
n^4 > \frac{1}{9}\cdot 20^4 \cdot \frac{M_4}{10^{-3}}.
  • Calculando numericamente:
20^4 = 160000,\quad \frac{160000}{9}\cdot \frac{M_4}{10^{-3}} = \frac{160000}{9}\cdot M_4 \cdot 1000.
Com M_4=0{,}12768 obtemos o lado direito aproximadamente 2{,}269{,}866{,}667. Então
n^4 \gtrsim 2{,}269{,}866{,}667 \quad\Rightarrow\quad n \gtrsim 38{,}82.
  • Simpson exige n par; portanto o menor n inteiro par que satisfaz é n=40.
  • Conclusão: com a estimativa de M_4 obtida a partir dos dados, precisamos de pelo menos n=40 subintervalos para garantir a cota de erro <10^{-3}.

Resposta

(a) Não é possível aplicar Simpson 1/3 com 10 subintervalos usando só os dados fornecidos (faltam os valores em nós intermédios). Usando Simpson composto com os dados disponíveis ( n=4, h=5) a aproximação é \displaystyle 4295{,}666\overline{6} (pés).
(b) Estimativa da cota do erro (com base em diferenças finitas para f^{(4)}): \displaystyle |E_S|\lesssim 8{,}866\overline{6} (pés).
(c) Usando a estimativa de M_4 acima, o número mínimo de subintervalos (par) para ter erro <10^{-3} é \displaystyle 40.

Exercícios relacionados