Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de superfície?
(b) Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, F(x, y, z)=k

Passo 1

O enunciado pede para achar o plano tangente à superfície de nível definida por uma função de três variáveis F(x,y,z)=k. Esse é um tópico de cálculo multivariável, e vamos precisar usar a ideia de gradiente e de plano em função de um vetor normal.

Passo 2

Uma superfície de nível é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que F(x,y,z)=k. Geometricamente, o gradiente de F em um ponto (x0,y0,z0) é um vetor perpendicular à essa superfície naquele ponto.

Passo 3

Primeiro, calcule o gradiente de F. Por definição,
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr)

Passo 4

Em seguida, avalie esse gradiente no ponto de interesse (x0,y0,z0)inF=k. O resultado nabla F(x0,y0,z0) é um vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Finalmente, a equação do plano tangente fica dada pela condição de que o vetor (x-x0,,y-y0,,z-z0) seja ortogonal a nabla F(x0,y0,z0). Assim, temos:
nabla F(x0,y0,z0)cdotl(x-x0,,y-y0,,z-z0r)=0

Resposta

O plano tangente à superfície de nível F(x,y,z)=k no ponto (x0,y0,z0) é
nabla F(x0,y0,z0)cdot(x-x0,,y-y0,,z-z0)=0

Exercícios relacionados