Como achar o plano tangente a cada um dos seguintes tipos de superfície?
(b) Uma superfície de nível de uma função de três variáveis,
(b) Uma superfície de nível de uma função de três variáveis,
Passo 1
O enunciado pede para achar o plano tangente à superfície de nível definida por uma função de três variáveis
. Esse é um tópico de cálculo multivariável, e vamos precisar usar a ideia de gradiente e de plano em função de um vetor normal.
Passo 2
Uma superfície de nível é o conjunto de pontos
tais que
. Geometricamente, o gradiente de
em um ponto
é um vetor perpendicular à essa superfície naquele ponto.
Passo 3
Primeiro, calcule o gradiente de
. Por definição,
Passo 4
Em seguida, avalie esse gradiente no ponto de interesse
. O resultado
é um vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Finalmente, a equação do plano tangente fica dada pela condição de que o vetor
seja ortogonal a
. Assim, temos:
Resposta
O plano tangente à superfície de nível
no ponto
é