Considere a equação diferencial a seguir:
Identifique o par de soluções fundamentais dessa equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Essa equação é do tipo homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula característica. Basicamente, isso ajuda a encontrar as soluções básicas da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a fórmula característica. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $ e $ y $ por 1 na equação:
Agora, resolvemos para $ r $:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^2 = -1 $.
Passo 3
Quando as raízes $ r $ são complexas, ou seja, da forma $ \alpha \pm \beta i $, as soluções da equação diferencial são expressas usando funções trigonométricas:
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = 2 $, então a equação simplifica para:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
As soluções fundamentais da equação diferencial são: