Questão 02: Esboce o gráfico das funções abaixo, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
Passo 1
A questão pede para a gente estudar uma função por partes, esboçar seu gráfico, achar onde ela cresce e decresce e também onde ela é positiva ou negativa. O conteúdo aqui é análise de função definida por trechos, usando derivadas para monotonicidade e zeros de polinômios para sinal.
Passo 2
Vamos olhar o primeiro trecho, para
-1 < x < 1:
f(x) = x^2 + 1
Esse é um polinômio de 2º grau (parábola com concavidade para cima). A derivada é f'(x) = 2x
Como 2x<0 quando x<0 e 2x>0 quando x>0, nesse trecho a função decresce em (-1,0) e cresce em (0,1). Observe que f(x)>0 sempre, já que x^2+1≥1.
Passo 3
Agora o segundo trecho, para
1 <= x < 2:
f(x) = -x^2 + 1
Também é parábola, mas invertida (concavidade para baixo). A derivada é f'(x) = -2x
Em todo o intervalo [1,2) temos x>0, logo f’(x)<0. Assim, a função é estritamente decrescente nesse trecho. Para sinal, resolvemos -x^2+1=0 obtendo x=±1; no intervalo só interessa x=1, onde f(1)=0. Para x>1, f(x)<0.
Passo 4
Finalmente o terceiro trecho, para
x > 2:
f(x) = x + 1
É uma reta de coeficiente angular 1. A derivada é f'(x)=1>0,
então a função cresce para todo x>2. A raiz dessa reta é x=-1, mas não pertence ao domínio desse trecho, então f(x)>0 para todo x>2.
Passo 5
Juntando tudo, os intervalos de crescimento e decrescimento são:
decrescente em (-1,0)cup[1,2),
crescente em (0,1)cup(2,infty)
Passo 6
Para o estudo de sinais temos:
– No trecho (-1,1): x^2+1>0, então f(x)>0.
– Em x=1: f(1)=0.
– No trecho (1,2): -x^2+1<0, então f(x)<0.
– Em x=2 a função não está definida.
– Em (2,∞): x+1>0, então f(x)>0.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, marcamos:
• Trecho (-1,1): parábola abrindo para cima, com valor mínimo 1 em x=0 e círculos abertos em x=±1.
• No ponto x=1, plugamos no segundo trecho e temos f(1)=0 (ponto sólido). A parábola invertida cai até quase f(2–)=–3, com círculo aberto em (2,–3).
• Imediatamente depois, em x=2+, a reta começa em um círculo aberto em (2,3) e cresce com inclinação 1.
Passo 8
Pronto! Com essas informações você consegue desenhar o gráfico, ver exatamente onde cresce, decresce e qual o sinal de f(x) em cada região.
Resposta
Cresce em (0,1) ∪ (2,∞)
Decresce em (−1,0) ∪ [1,2)
f(x)>0 em (−1,1) ∪ (2,∞)
f(x)=0 em {1}
f(x)<0 em (1,2)