Achar as quatro raízes da equaçõ z^{4}+4=0 \mathrm{e} usá-las para fatorar z^{4}+4 \mathrm{em} fatores quadráticos com coeficientes reais:

Passo 1

O enunciado pede as quatro raízes da equação
z^{4} + 4 = 0
e, a partir delas, fatorar z^{4}+4 em fatores quadráticos com coeficientes reais. O conteúdo aqui é encontrar raízes complexas via forma polar e depois agrupar conjugados para obter fatores reais.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
z^{4} = -4.
Em forma polar, -4 pode ser escrito como
-4 = 4 e^{i(\pi + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z},
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z = \bigl(4 e^{i(\pi + 2\pi k)}\bigr)^{1/4} = 4^{1/4} \, e^{i(\pi+2\pi k)/4} = \sqrt{2}\,e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}.

Passo 3

Tomando k=0,1,2,3 obtemos as quatro raízes: \displaystyle z_k = \sqrt{2}\,e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}. Em particular, k=0\colon z_{0} = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} = 1 + i, k=1\colon z_{1} = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4} = -1 + i, k=2\colon z_{2} = \sqrt{2}\,e^{i5\pi/4} = -1 - i, k=3\colon z_{3} = \sqrt{2}\,e^{i7\pi/4} = 1 - i.

Passo 4

Para fatorar em quadráticos reais, agrupamos raízes conjugadas em pares. Se \alpha é uma raiz e \bar \alpha seu conjugado, o fator é
(z-\alpha)(z-\bar \alpha)=z^2 -2\Re(\alpha)\,z + |\alpha|^2.
No nosso caso:
  • Para \alpha=1+i, \Re(\alpha)=1 e |\alpha|^2=2, o fator é z^2 -2z +2.
  • Para \alpha=-1+i, \Re(\alpha)=-1 e |\alpha|^2=2, o fator é z^2 +2z +2.

Passo 5

Multiplicando esses dois quadráticos obtemos a fatoração completa de z^4+4 com coeficientes reais.

Resposta

As raízes são z=1+i,\;-1+i,\;-1-i,\;1-i.
A fatoração em quadráticos reais é
z^{4} + 4 = (z^{2} - 2z + 2)\,(z^{2} + 2z + 2).

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