Prove a identidade
1+z+z^{2}+\ldots+z^{n}=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}, z \neq 1

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Em outras palavras, para cada z\neq 1 e inteiro n\ge0, mostrar que
1 + z + z^2 + \cdots + z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.
A ideia principal é chamar essa soma de S e usar o truque de multiplicar por (1 - z) para telescopar a sequência.

Passo 2

Defina
S = 1 + z + z^2 + \cdots + z^n.
Multiplicando ambos os lados por (1 - z), obtemos
(1 - z)S = S - zS.
Como
zS = z + z^2 + \cdots + z^{n+1},
fazendo a subtração vemos que quase tudo se cancela, restando
S - zS = (1 + z + \cdots + z^n) - (z + \cdots + z^{n+1}) = 1 - z^{n+1}.

Passo 3

Assim,
(1 - z)S = 1 - z^{n+1}.
E, uma vez que z\neq 1, podemos dividir dos dois lados por (1 - z), chegando a
S = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.
Pronto, está provado.

Resposta

1 + z + z^2 + \cdots + z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}.

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