Achar uma representação em série de potencias para:
i(x)=\frac{2}{(1-2 x)^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para
\displaystyle i(x)=\frac{2}{(1-2x)^{2}}.
O conteúdo necessário é a série geométrica e sua derivada.

Passo 2

Lembramos que, para |t|<1,
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}.
Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{1-t}\Bigr)=\frac{1}{(1-t)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(1-t)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}n\,t^{n-1}.

Passo 3

Para escrever a série em potências de x, fazemos t=2x. Assim,
\frac{1}{(1-2x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}n\,(2x)^{n-1} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,(2x)^{m},
onde trocamos o índice usando m=n-1.

Passo 4

Multiplicando por 2, chegamos a
\frac{2}{(1-2x)^{2}} =2\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,2^{m}x^{m} =\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)\,2^{m+1}x^{m}.

Resposta

i(x)=\frac{2}{(1-2x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,2^{n+1}x^{n}.

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