Achar uma representação em série de potencias para:
h(x)=\frac{1}{(1-2 x)}\\

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
h(x)=\frac{1}{1-2x}.
Para isso vamos usar a fórmula da série geométrica: se |r|<1, então
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n.

Passo 2

Aqui basta identificar r=2x. Como \frac{1}{1-r} se torna \frac{1}{1-2x}, já temos
\frac{1}{1-2x}=\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n.

Passo 3

Expandindo (2x)^n fica
\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n,
e a condição de convergência é |r|<1, ou seja,
|2x|<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac12.

Resposta

\frac{1}{1-2x}=\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n,\quad |x|<\tfrac12.

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