Em cada caso, mostre que a série dada é uma solução da respectiva equação diferencial:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as séries
e
são soluções, respectivamente, das EDOs
Vamos usar diferenciação termo a termo de séries de potências e mudanças de índice.
Passo 2
Para a parte (a), seja
Diferenciando termo a termo,
Fazendo
, obtemos
Logo
ou seja,
satisfaz
.
Passo 3
Para a parte (b), defina
Note que
, então só a parte em série contribui para
. Diferenciando duas vezes a série,
Fazendo
, isto é,
,
Passo 4
Agora verificamos a EDO
. Como
temos
Logo
satisfaz
.
Resposta
As duas séries dadas são soluções das respectivas equações diferenciais.