Achar a solução geral do sistema de equações dado. Traçar também algumas trajetórias e descrever o comportamento das soluções quando t \longrightarrow \infty. x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) x.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo de ordem 1 em \mathbb{R}^2:
Traçar (descrever) algumas trajetórias no plano de fase.
Descrever o comportamento das soluções quando t \longrightarrow \infty.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz do sistema é A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Não há condição inicial fixa (você pode usar constantes arbitrárias c_1,c_2 ou escrever em função de x(0)).]
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática do método que vamos usar).
Para sistemas lineares constantes x' = A x a solução geral é obtida pela decomposição em modos próprios (autovalores e autovetores) ou por x(t)=e^{At}x(0).
Um autovalor \lambda e um autovetor v satisfazem (A-\lambda I)v=0. Cada par (\lambda,v) gera uma solução x(t)=e^{\lambda t}v.
Se conseguimos dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, a solução geral é combinação linear desses modos: x(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}v_2.
Vou calcular autovalores e autovetores passo a passo.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico e autovalores.
O polinômio característico é
onde c_1,c_2 são constantes determinadas pela condição inicial x(0)=\begin{pmatrix}x_1(0)\\[4pt]x_2(0)\end{pmatrix}.
Escrevendo x(0)=c_1 v_1 + c_2 v_2 resulta no sistema
e então x(t)=e^{At}x(0) reproduz a fórmula das componentes acima.]
Passo 7
Trajetórias no plano de fase — interpretação e exemplos.
Se a condição inicial está exatamente numa direção própria:
Para x(0)=\alpha v_1 tem-se x(t)=\alpha e^{-t}v_1: trajetória é a reta que passa pela origem na direção v_1=(1,1), e a solução decai como e^{-t}.
Para x(0)=\beta v_2 tem-se x(t)=\beta e^{-3t}v_2: trajetória é a reta na direção v_2=(1,-1), e decai mais rápido, como e^{-3t}.
Para condições iniciais gerais, a trajetória no plano de fase é curva que parte do ponto x(0) e tende ao origem. Inicialmente a contribuição dos dois modos aparece, mas conforme t cresce o modo com maior expoente (menos negativo) domina.
Exemplo concreto: para x(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} temos c_1=c_2=\tfrac{1}{2}, ex(t)=\frac{1}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},ou em componentesx_1(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}+e^{-3t}\bigr),\qquad x_2(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}-e^{-3t}\bigr).Esta curva começa em (1,0), inicialmente tem direção x'(0)=Ax(0)=(-2,1) e depois curva, aproximando-se da reta x_2=x_1 enquanto se aproxima da origem.]
Passo 8
Comportamento quando t\to\infty.
Ambos os autovalores são negativos (\lambda_1=-1,\\ \lambda_2=-3), logo todas as soluções tendem para a origem: a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável (um “sumidouro” ou nó atrator).
O termo e^{-3t} decai mais rápido que e^{-t}. Assim, para quase todo valor inicial com c_1\neq0, quando t\to\inftyx(t)\sim c_1 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},ou seja, as trajetórias aproximam-se da reta x_2=x_1 antes de chegar à origem. Se c_1=0 (iniciais sobre a reta x_2=-x_1), a solução decai ao longo de v_2 como e^{-3t}.]
As t\to\infty, x(t)\to0. Se c_1\neq0 então x(t) tende à origem alinhando-se com \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (decai como e^{-t}); se c_1=0 então decai mais rápido ao longo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (decai como e^{-3t}).]