Uma onda progressiva é descrita pela seguinte função de onda
y(x, t)=y_{m} \sin (k x-\omega t++\varphi) .
Explique o significado de cada parâmetro.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
y(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)
e pede para explicar o significado de cada parâmetro presente: y_{m}, k, \omega e \varphi.
Informações dadas (explicitamente na fórmula):
  • A forma da onda é uma senoide viajante com argumento \bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr).
  • Os símbolos a explicar são y_{m}, k, \omega e \varphi.

Passo 2

Amplitude y_{m}. O que é e por que importa.
  • A amplitude y_{m} é o valor máximo absoluto que a variável y atinge. Ou seja, a onda varia entre -y_{m} e +y_{m}.
  • Unidade: mesma unidade de y (por exemplo metros se y for deslocamento).
  • Interpretação física: mede a “força” ou intensidade da onda (em muitas ondas de pequena amplitude, energia transportada é proporcional a y_{m}^{2}).
  • Exemplo simples: se y_{m}=0,05 m, então a crista tem deslocamento +0,05 m e o vale -0,05 m.

Passo 3

Número de onda k. definição, relação com comprimento de onda e significado espacial.
  • k é o número de onda, mede quantos radianos de fase a onda acumula por metro. Unidade: radiano por metro ( \mathrm{rad/m}).
  • Relação com o comprimento de onda \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • Significado prático: o comprimento de onda \lambda é a distância espacial entre duas cristas consecutivas. Assim, se k é maior, \lambda é menor (mais oscilações por unidade de comprimento).
  • Diferença de fase entre dois pontos separados por \Delta x:
\Delta\varphi = k\,\Delta x.
Exemplo: se k=\pi\\ \mathrm{rad/m}, então \lambda=2 m.

Passo 4

Frequência angular \omega. definição, relação com período e frequência temporal.
  • \omega é a frequência angular, mede quantos radianos de fase a onda acumula por segundo. Unidade: radiano por segundo ( \mathrm{rad/s}).
  • Relação com a frequência f (em Hz) e com o período T:
\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.
  • Significado prático: f diz quantas oscilações completas ocorrem por segundo; \omega é a mesma informação em radianos por segundo.
  • Exemplo: se \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s}, então f=1\\ \mathrm{Hz} e T=1 s.

Passo 5

Fase inicial \varphi. o que faz e como interpretar.
  • \varphi é a fase inicial (em radianos) — desloca a onda em fase no instante t=0 e posição x=0.
  • Efeito: altera onde (em tempo ou espaço) a crista ou o vale aparece. Duas ondas com mesmos y_{m},k,\omega mas \varphi diferentes estão deslocadas em fase.
  • Casos importantes: se \varphi=0 a função em x=0,t=0 é 0; se \varphi=\pi/2 a função em x=0,t=0 é y_{m} (crista). Duas ondas com \Delta\varphi=0 estão em fase; com \Delta\varphi=\pi estão em oposição de fase.

Passo 6

Argumento da senoide e velocidade de propagação. como a forma kx-\omega t+\varphi gera uma onda que se desloca.
  • Defina a fase instantânea
\Phi(x,t)=kx-\omega t+\varphi.
  • Constantes de fase: para acompanhar um ponto de mesma fase (por exemplo uma crista), impõe-se
kx-\omega t+\varphi=\text{const}.
Resolvendo para x em função de t (fixando a constante),
x(t)=\frac{\omega}{k}\,t+\text{const}.
  • Daí surge a velocidade de fase (velocidade de propagação da onda)
v=\frac{\omega}{k}.
  • Interpretação e direção: como o termo temporal entra com sinal negativo ( -\omega t), a onda se desloca na direção positiva do eixo x. Se o argumento fosse kx+\omega t+\varphi a onda se moveria para x negativo.
  • Relações úteis juntando tudo:
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f,\qquad v=f\lambda=\frac{\omega}{k}.

Passo 7

Onde estão as cristas (máximos) e como elas se movem — ver aplicação prática.
  • Máximos ocorrem quando \sin(\Phi)=\pm 1, isto é quando
\Phi(x,t)=kx-\omega t+\varphi=\frac{\pi}{2}+n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Resolvendo para x:
x=\frac{\omega}{k}\,t+\frac{1}{k}\Bigl(\frac{\pi}{2}+n\pi-\varphi\Bigr).
Isto mostra explicitamente que a posição das cristas muda linearmente com t com velocidade v=\omega/k.
  • Pequena verificação numérica (exemplo): suponha y_{m}=0{,}02 m, \lambda=2 m \Rightarrow k=\pi\\ \mathrm{rad/m}; f=1 Hz \Rightarrow \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s}. Então
v=\frac{\omega}{k}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser o deslocamento em x=1 m no instante t=0{,}25 s e \varphi=0,
\Phi= kx-\omega t+\varphi=\pi\cdot 1-2\pi\cdot 0{,}25=\pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2},
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y(1,0{,}25)=y_{m}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=y_{m}.
Aí aparece uma crista naquele ponto e tempo.

Passo 8

Resumo prático das fórmulas essenciais e interpretação rápida.
  • Amplitude: y_{m} = altura máxima da onda (positivo), determina intensidade.
  • Número de onda: k=\dfrac{2\pi}{\lambda} (rad/m), controla a periodicidade espacial.
  • Frequência angular: \omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T} (rad/s), controla a periodicidade temporal.
  • Fase inicial: \varphi (rad), desloca a onda em fase (quem está adiantado/atrasado).
  • Velocidade de fase: v=\dfrac{\omega}{k}=f\lambda, e o sinal no argumento ( kx-\omega t) indica direção de propagação.
    Força final: foque em identificar \lambda, f ou T a partir de k e \omega e usar v=\omega/k para achar velocidade — isso resolve a maioria das questões de provas sobre ondas.

Resposta

y_{m}: amplitude — valor máximo absoluto de y (determina intensidade).
k: número de onda — relacionado ao comprimento de onda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}; mede a variação de fase por unidade de comprimento.
\omega: frequência angular — relacionada a frequência e período por \omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T}; mede a variação de fase por unidade de tempo.
\varphi: fase inicial — deslocamento da fase da onda no instante t=0 e posição x=0 (determina o “deslocamento” em fase da senoide).

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