Nos problemas de 11 e 12, determinar a solução geral da equação diferencial dada.
12-y{(4)}+y{\prime \prime \prime}=x.
12-y{(4)}+y{\prime \prime \prime}=x.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: determinar a solução geral
dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Trata‑se de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem
. - O termo do lado direito é o polinômio
(grau ). - A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação numa forma mais conveniente. Multiplicando por
(ou apenas rearranjando), obtemos a forma padrão
Vou seguir o método clássico: (i) encontrar a solução geral da homogênea
e (ii) achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 3
Resolver a homogênea. Para isso uso a equação característica substituindo
por
:
Fatorando:
As raízes são
com multiplicidade
e
simples. A regra de solução para equações lineares com raízes da característica diz que:
- uma raiz
de multiplicidade gera as soluções independentes ; - uma raiz
gera a solução .
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolher um ansatz (chute) para a solução particular
. O lado direito é o polinômio
(grau
). A técnica de coeficientes a determinar pede que tentemos um polinômio da mesma forma, mas: se
é raiz da característica (ou seja, se a solução homogênea já contém polinômios), devemos multiplicar o chute por
, onde
é a multiplicidade da raiz
. Aqui
tem multiplicidade
, então multiplico o polinômio de grau
por
. Assim o chute tem grau
. Logo tomo
com
constantes a determinar.
(Observação rápida e útil: se a homogênea não tivesse
, para
eu tentaria
. Se
tivesse multiplicidade 1 eu multiplicaria por
e tentaria
. Aqui a multiplicidade é 3, por isso multiplicar por
.)
Passo 5
Calcular as derivadas de
necessárias e substituí‑las na equação. Derivando termo a termo:
Passo 6
Substituir em
:
Esse deve ser igual a
para todo
. Portanto igualamos coeficientes do polinômio:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
. Substituindo :
Passo 7
Assim a solução particular encontrada é
Agora a solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: