Nos problemas de 11 e 12, determinar a solução geral da equação diferencial dada.
12-y{(4)}+y{\prime \prime \prime}=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
-\,y^{(4)}+y^{\prime\prime\prime}=x.
O que é pedido: determinar a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Trata‑se de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem 4.
  • O termo do lado direito é o polinômio x (grau 1).
  • A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação numa forma mais conveniente. Multiplicando por -1 (ou apenas rearranjando), obtemos a forma padrão
y^{(4)}-y^{\prime\prime\prime}=-x.
Vou seguir o método clássico: (i) encontrar a solução geral da homogênea y^{(4)}-y^{\prime\prime\prime}=0 e (ii) achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 3

Resolver a homogênea. Para isso uso a equação característica substituindo y^{(k)} por r^{k}:
r^{4}-r^{3}=0.
Fatorando:
r^{3}(r-1)=0.
As raízes são r=0 com multiplicidade 3 e r=1 simples. A regra de solução para equações lineares com raízes da característica diz que:
  • uma raiz r=0 de multiplicidade m gera as soluções independentes 1, x, x^{2},\dots,x^{m-1};
  • uma raiz r=1 gera a solução e^{x}.
    Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolher um ansatz (chute) para a solução particular y_{p}. O lado direito é o polinômio x (grau 1). A técnica de coeficientes a determinar pede que tentemos um polinômio da mesma forma, mas: se 0 é raiz da característica (ou seja, se a solução homogênea já contém polinômios), devemos multiplicar o chute por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz r=0. Aqui r=0 tem multiplicidade 3, então multiplico o polinômio de grau 1 por x^{3}. Assim o chute tem grau 1+3=4. Logo tomo
y_{p}(x)=A x^{4}+B x^{3},
com A,B constantes a determinar.
(Observação rápida e útil: se a homogênea não tivesse r=0, para x eu tentaria Ax+B. Se r=0 tivesse multiplicidade 1 eu multiplicaria por x e tentaria x(Ax+B)=Ax^{2}+Bx. Aqui a multiplicidade é 3, por isso multiplicar por x^{3}.)

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p} necessárias e substituí‑las na equação. Derivando termo a termo:
y_{p}=A x^{4}+B x^{3},
y_{p}'=4A x^{3}+3B x^{2},
y_{p}''=12A x^{2}+6B x,
y_{p}'''=24A x+6B,
y_{p}^{(4)}=24A.

Passo 6

Substituir em y^{(4)}-y^{(3)}=-x:
y_{p}^{(4)}-y_{p}'''=24A-(24A x+6B)=-24A x+(24A-6B).
Esse deve ser igual a -x para todo x. Portanto igualamos coeficientes do polinômio:
  • Coeficiente de x: -24A=-1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{24}.
  • Termo constante: 24A-6B=0. Substituindo A=\dfrac{1}{24}:
24\cdot\frac{1}{24}-6B=1-6B=0 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{6}.

Passo 7

Assim a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{6}x^{3}.
Agora a solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{x}+\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{6}x^{3}.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{x}+\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{6}x^{3}

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