Achar a solução do problema de valor inicial proposto, aplicando transformada de Laplace.
(c) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=f(t) ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = f(t),\quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
onde
f(t)=\begin{cases}1,&0\le t<1,\\\ 0,&t\ge1.\end{cases}
O método solicitado é usar transformada de Laplace e a função degrau de Heaviside para representar f(t).

Passo 2

Reescrevemos f(t) com Heaviside:
f(t)=1 - u(t-1),
cuja transformada é
\mathcal L\{f(t)\}=\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}.
Aplicando transformada de Laplace à EDO e usando y(0)=1,\;y'(0)=0:
\mathcal L\{y''\} +2\mathcal L\{y'\}+\mathcal L\{y\} =(s^2Y -s\cdot1-0)+2(sY-1)+Y.
Somando termos:
(s^2+2s+1)Y -s -2 =\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 3

Isolamos Y(s):
(s+1)^2\,Y = \frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s} + s + 2,
Y(s) =\frac{\displaystyle\frac{1}{s}+s+2}{(s+1)^2} \;-\;\frac{e^{-s}}{s\,(s+1)^2}.
Chamemos
Y_1(s)=\frac{\displaystyle\frac{1}{s}+s+2}{(s+1)^2} \quad\text{e}\quad Y_2(s)=\frac{1}{s\,(s+1)^2}\,,
de modo que
Y(s)=Y_1(s)\;-\;e^{-s}\,Y_2(s).

Passo 4

Simplificamos Y_1(s):
Y_1(s) =\frac{1}{s(s+1)^2}+\frac{s+2}{(s+1)^2} =\Bigl(\tfrac1s-\tfrac1{s+1}-\tfrac1{(s+1)^2}\Bigr) +\Bigl(\tfrac1{s+1}+\tfrac1{(s+1)^2}\Bigr) =\frac{1}{s}.
Portanto \mathcal L^{-1}\{Y_1\}(t)=1.
Para Y_2(s)=1/[s(s+1)^2] fizemos quebra em frações parciais:
\frac{1}{s(s+1)^2} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2},
cuja inversa é
g(t)=1 - e^{-t} - t\,e^{-t}.

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento:
\mathcal L^{-1}\{e^{-s}Y_2(s)\}(t) = u(t-1)\,g(t-1).
Logo a solução no domínio do tempo é
y(t) =\underbrace{1}_{\mathcal L^{-1}\{Y_1\}} \;-\;u(t-1)\,\bigl[\,1 - e^{-(t-1)} - (t-1)e^{-(t-1)}\bigr].
Isso dá, explicitando por t<1 e t\ge1:

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)=1.
Para t\ge1:
y(t) =1 - \bigl[1 - e^{-(t-1)} - (t-1)e^{-(t-1)}\bigr] =e^{-(t-1)}+(t-1)e^{-(t-1)} =t\,e^{-(t-1)}.

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