Achar a solução do problema de valor inicial proposto, aplicando transformada de Laplace.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
O método solicitado é usar transformada de Laplace e a função degrau de Heaviside para representar
.
Passo 2
Reescrevemos
com Heaviside:
cuja transformada é
Aplicando transformada de Laplace à EDO e usando
:
Somando termos:
Passo 3
Isolamos
:
Chamemos
de modo que
Passo 4
Simplificamos
:
Portanto
.
Para fizemos quebra em frações parciais:
Para
cuja inversa é
Passo 5
Pelo teorema do deslocamento:
Logo a solução no domínio do tempo é
Isso dá, explicitando por
e
:
Resposta
Para
:
Para
: