Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes.
(n) t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2}.
O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace e as propriedades de linearidade e de tratamento de termos da forma t\,e^{a t}. Vamos usar também a identidade
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s) = \frac{1}{(s-a)^{2}}.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado:
\bigl(e^{t}+e^{2t}\bigr)^{2} = e^{2t} + 2\,e^{3t} + e^{4t}.
Logo
f(t) = t\,e^{2t} + 2\,t\,e^{3t} + t\,e^{4t}.

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada de Laplace e a fórmula padrão para t\,e^{a t}:
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s) = \frac{1}{(s - a)^{2}}.
Aplicando termo a termo:
\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}(s) = \frac{1}{(s-2)^{2}}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{3t}\}(s) = \frac{1}{(s-3)^{2}}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{4t}\}(s) = \frac{1}{(s-4)^{2}}.

Passo 4

Somando com os coeficientes correspondentes:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \frac{1}{(s-2)^{2}} + 2\cdot\frac{1}{(s-3)^{2}} + \frac{1}{(s-4)^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t(e^{t}+e^{2t})^{2}\}(s) = \frac{1}{(s-2)^{2}} + \frac{2}{(s-3)^{2}} + \frac{1}{(s-4)^{2}}.

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