Achar a transformada inversa de Laplace das funções.
F(s)=\frac{4 s-6}{s^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{4s-6}{s^{2}-4}.
O conteúdo principal é transformada de Laplace inversa de função racional. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e a tabela básica
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s-a}\biggr\}=e^{at}.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^{2}-4=(s-2)(s+2).
Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{4s-6}{(s-2)(s+2)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s-2)(s+2) e igualamos coeficientes:
4s-6 = A(s+2)+B(s-2).
Isso leva ao sistema
\begin{cases} A+B=4,\\\\ 2A-2B=-6. \end{cases}
Resolvendo, obtemos
A=\tfrac12, \quad B=\tfrac72.

Passo 4

Substituindo na decomposição, temos
F(s)=\frac{\tfrac12}{s-2}+\frac{\tfrac72}{s+2}.
Pela tabela de transformadas inversas, cada termo gera um exponencial:
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac12\,(s-2)^{-1}\bigr\}=\tfrac12\,e^{2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac72\,(s+2)^{-1}\bigr\}=\tfrac72\,e^{-2t}.
Somando os resultados, obtemos a resposta.

Resposta

f(t)=\frac12\,e^{2t}+\frac72\,e^{-2t}.

Exercícios relacionados