Achar a transformada inversa de Laplace das funções.
F(s)=\frac{1-2 s}{s^{2}+4 s+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1-2s}{s^{2}+4s+5}.
O conteúdo que vamos usar inclui completar o quadrado no denominador, decompor o numerador e aplicar o teorema de deslocamento (transformadas de e^{-at}\cos bt e e^{-at}\sin bt).

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+5 = (s+2)^{2}+1.
Assim
F(s)=\frac{1-2s}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 3

Vamos escrever 1-2s como combinação de (s+2) e constante. Suponha
1-2s = A(s+2)+B.
Igualando coeficientes em s e no termo independente:
A=-2 e 2A+B=1\implies B=5.
Logo
F(s) = -2\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} \;+\;5\frac{1}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 4

Aplicando transformadas conhecidas e o teorema de deslocamento:
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\Big\} = e^{-2t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\Big\} = e^{-2t}\sin t.
Pela linearidade,
f(t) = -2\,e^{-2t}\cos t \;+\;5\,e^{-2t}\sin t.

Resposta

f(t) = -2e^{-2t}\cos t + 5e^{-2t}\sin t

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