Use o teorema de De Moivre:
(\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=(\cos n \theta+i \sin n \theta)
para escrever o \cos 3 \theta somente em termos de \cos \theta e o \sin 3 \theta somente em termos de \sin \theta, isto é, determine os coeficientes a_{i} e b_{i} das expressões:
\begin{aligned} & \cos 3 \theta=a_{0}+a_{1} \cos \theta+a_{2} \cos ^{2} \theta+a_{3} \cos ^{3} \theta \\\ & \sin 3 \theta=b_{0}+b_{1} \sin \theta+b_{2} \sin ^{2} \theta+b_{3} \sin ^{3} \theta \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de De Moivre
(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)
com n=3 e, a partir daí, escrever \cos3\theta apenas em potências de \cos\theta e \sin3\theta apenas em potências de \sin\theta. Vamos expandir o binômio e separar as partes real e imaginária.

Passo 2

Expandimos
(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = (\cos\theta)^3 + 3(\cos\theta)^2\,(i\sin\theta) + 3\cos\theta\,(i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3.
Como i^2=-1 e i^3=-i, isso fica
\cos^3\theta \;+\;3\,i\cos^2\theta\sin\theta\;-\;3\cos\theta\sin^2\theta\;-\;i\sin^3\theta.

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre, a parte real dessa expansão é \cos3\theta. Logo,
\cos3\theta = \cos^3\theta \;-\;3\cos\theta\,\sin^2\theta.
Usando \sin^2\theta=1-\cos^2\theta, temos
\cos3\theta = \cos^3\theta -3\cos\theta\,(1-\cos^2\theta) =4\cos^3\theta -3\cos\theta.

Passo 4

A parte imaginária da expansão é \sin3\theta. Assim,
\sin3\theta = 3\cos^2\theta\,\sin\theta \;-\;\sin^3\theta.
Como \cos^2\theta=1-\sin^2\theta, obtemos
\sin3\theta =3(1-\sin^2\theta)\sin\theta -\sin^3\theta =3\sin\theta -4\sin^3\theta.

Passo 5

Agora basta comparar com as formas
\cos3\theta = a_{0}+a_{1}\cos\theta+a_{2}\cos^2\theta+a_{3}\cos^3\theta, \qquad \sin3\theta = b_{0}+b_{1}\sin\theta+b_{2}\sin^2\theta+b_{3}\sin^3\theta.

Resposta

a_{0}=0,\\ a_{1}=-3,\\ a_{2}=0,\\ a_{3}=4
b_{0}=0,\\ b_{1}=3,\\ b_{2}=0,\\ b_{3}=-4

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