Encontre as soluções para as equações a seguir utilizando coordenadas retangulares e coordenadas polares, e represente o ponto no lado direito das equações e as soluções para as equações no diagrama de Argand.
z^{2}=-3-4 i

Passo 1

O enunciado pede as soluções da equação
z^{2} = -3 - 4\,i
usando coordenadas retangulares (isto é, z = x + i y) e coordenadas polares, e ainda representar no diagrama de Argand o ponto -3-4i e as soluções encontradas. Vamos precisar de:
1. Equacionar partes real e imaginária no caso retangular.
2. Calcular módulo e argumento de -3-4i para extrair raízes no caso polar.

Passo 2

Colocando z = x + i y\), temos \[(x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2\,i\,x y = -3 - 4\,i.
Igualando parte real e imaginária:
\begin{cases} x^{2} - y^{2} = -3,\\[6pt] 2\,x y = -4 \;\Longrightarrow\; x y = -2. \end{cases}
Da segunda equação, y = -2/x\]. Substituindo na primeira: \[x^{2} - \Bigl(-\tfrac{2}{x}\Bigr)^{2} = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - \frac{4}{x^{2}} = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^{4} + 3x^{2} -4 = 0.\] Seja \(t = x^{2}, então t^{2} +3t -4=0 t=1 (descartamos t=-4). Logo x = \pm1.
Para x=1 segue y = -2; para x=-1 segue y = 2.
Assim, as soluções retangulares são
z_{1} = 1 - 2\,i, \quad z_{2} = -1 + 2\,i.]

Passo 3

No método polar escrevemos
-3 - 4\,i = 5\,e^{i\theta},
onde
5 = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}, \quad \theta = \arg(-3-4\,i) = -2{,}2143\;\mathrm{rad}
(no intervalo -\pi,\pi]). Para encontrar z tais que z^{2}=5e^{i\theta}, usamos
z = \sqrt{5}\,e^{i\bigl(\frac{\theta+2\pi k}{2}\bigr)}, \quad k=0,1.

Passo 4

Calculando para k=0:
z_{1} = \sqrt{5}\,e^{i\bigl(\tfrac{-2{,}2143}{2}\bigr)} = \sqrt{5}\,e^{-\,i\,1{,}10715} \quad\longleftrightarrow\quad 1 - 2\,i.
Para k=1:
z_{2} = \sqrt{5}\,e^{i\bigl(\tfrac{-2{,}2143+2\pi}{2}\bigr)} = \sqrt{5}\,e^{i\,2{,}03445} \quad\longleftrightarrow\quad -1 + 2\,i.

Resposta

As soluções da equação z^{2}=-3-4\,i são
z_{1} = 1 - 2\,i = \sqrt{5}\,e^{-\,i\,1{,}10715}, \quad z_{2} = -1 + 2\,i = \sqrt{5}\,e^{\,i\,2{,}03445}.
No diagrama de Argand plotamos o ponto dado -3-4\,i e os dois pontos (1,-2) e (-1,2) correspondentes a z_{1} e z_{2}.

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