Dadas as seguintes equações diferenciais, onde
corresponde à entrada
corresponde à saída, determine as funções de transferência respectivas:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear que relaciona a entrada
e a saída
. Os dados são:
- Equação diferencial:
- Sabe-se que
é a saída e é a entrada.
A pergunta é: determinar a(s) função(ões) de transferência correspondente(s) — ou seja, a relação algébrica entre a transformada de Laplace da saída e a da entrada, assumindo as hipóteses padrão para função de transferência.
Passo 2
O que é função de transferência e como vamos proceder (explicação didática).
- Definição prática: a função de transferência
de um sistema linear e invariante no tempo (LTI) é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a da entrada com condições iniciais nulas:
- Por que usamos condições iniciais nulas? Porque a função de transferência descreve a resposta do sistema ao sinal de entrada partindo do repouso; em provas e projetos é padrão tomar condições iniciais nulas para definir
. - Propriedades importantes da transformada de Laplace para derivadas (com condições iniciais arbitrárias):
Com condições iniciais nulas (
,
) essas fórmulas ficam simplesmente
Isso facilita transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo termo a termo (e ao lado direito também), e assumindo condições iniciais nulas:
-
. -
. -
. -
.
Então a transformada da equação diferencial fica (escrevendo cada contribuição):
Passo 4
Agrupando os termos que multiplicam
resulta uma equação algébrica simples:
Para obter a função de transferência, a ideia é isolar a razão
. Escrevendo a equação acima de forma que apareça essa razão temos:
A função de transferência é, portanto, a razão
que elimina a dependência de
e
individuais.
Passo 5
Informações úteis sobre o polinômio do denominador (úteis na prova para interpretar o sistema):
- O polinômio que aparece multiplicando
é . - Esse polinômio pode ser fatorado (para interpretar polos):
Saber fatorar ajuda a identificar pólos em
e
, o que diz respeito à estabilidade e ao comportamento temporal do sistema.
Passo 6
Resumo prático de como fazer isso rápido na prova:
- Assuma condições iniciais nulas ao buscar a função de transferência.
- Aplique a transformada de Laplace usando
e . - Agrupe os termos em
e isole . - Se for preciso interpretar o sistema, fatorize o denominador para achar polos e zeros.