Dadas as seguintes equações diferenciais, onde \mathrm{y}(\mathrm{t}) corresponde à entrada \mathrm{e} \mathrm{x}(\mathrm{t}) corresponde à saída, determine as funções de transferência respectivas:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-3 y=2 x

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear que relaciona a entrada x(t) e a saída y(t). Os dados são:
  • Equação diferencial: \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \frac{d y}{d t}-3 y=2 x.
  • Sabe-se que y(t) é a saída e x(t) é a entrada.
    A pergunta é: determinar a(s) função(ões) de transferência correspondente(s) — ou seja, a relação algébrica entre a transformada de Laplace da saída e a da entrada, assumindo as hipóteses padrão para função de transferência.

Passo 2

O que é função de transferência e como vamos proceder (explicação didática).
  • Definição prática: a função de transferência G(s) de um sistema linear e invariante no tempo (LTI) é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a da entrada com condições iniciais nulas:
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} \quad\text{(com condições iniciais iguais a zero).}çõ
  • Por que usamos condições iniciais nulas? Porque a função de transferência descreve a resposta do sistema ao sinal de entrada partindo do repouso; em provas e projetos é padrão tomar condições iniciais nulas para definir G(s).
  • Propriedades importantes da transformada de Laplace para derivadas (com condições iniciais arbitrárias):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Com condições iniciais nulas ( y(0)=0, y'(0)=0) essas fórmulas ficam simplesmente
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s).
Isso facilita transformar a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo termo a termo (e ao lado direito também), e assumindo condições iniciais nulas:
  • \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s).
  • \mathcal{L}\{2y'(t)\}=2\cdot s Y(s).
  • \mathcal{L}\{-3y(t)\}=-3Y(s).
  • \mathcal{L}\{2x(t)\}=2X(s).
    Então a transformada da equação diferencial fica (escrevendo cada contribuição):
s^{2}Y(s) + 2sY(s) - 3Y(s) = 2X(s).

Passo 4

Agrupando os termos que multiplicam Y(s) resulta uma equação algébrica simples:
\bigl(s^{2}+2s-3\bigr)\,Y(s)=2X(s).
Para obter a função de transferência, a ideia é isolar a razão Y(s)/X(s). Escrevendo a equação acima de forma que apareça essa razão temos:
\bigl(s^{2}+2s-3\bigr)\,\frac{Y(s)}{X(s)}=2.
A função de transferência é, portanto, a razão \dfrac{Y(s)}{X(s)} que elimina a dependência de Y(s) e X(s) individuais.

Passo 5

Informações úteis sobre o polinômio do denominador (úteis na prova para interpretar o sistema):
  • O polinômio que aparece multiplicando Y(s) é \;s^{2}+2s-3\;.
  • Esse polinômio pode ser fatorado (para interpretar polos): s^{2}+2s-3=(s+3)(s-1).
Saber fatorar ajuda a identificar pólos em s=-3 e s=1, o que diz respeito à estabilidade e ao comportamento temporal do sistema.

Passo 6

Resumo prático de como fazer isso rápido na prova:
  1. Assuma condições iniciais nulas ao buscar a função de transferência.
  2. Aplique a transformada de Laplace usando \mathcal{L}\{y'\}=sY e \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y.
  3. Agrupe os termos em Y(s) e isole \dfrac{Y(s)}{X(s)}.
  4. Se for preciso interpretar o sistema, fatorize o denominador para achar polos e zeros.

Resposta

G(s)=\frac{2}{s^{2}+2s-3}=\frac{2}{(s+3)(s-1)}

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