Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
1.)
\sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de c tal que a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1}=2
seja satisfeita. Para isso vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (PG) infinita.

Passo 2

Em geral, uma PG infinita com primeiro termo a e razão r converge para
\frac{a}{1-r}
desde que \lvert r\rvert<1.
Aqui temos
a = (2c)^0 = 1,\quad r = 2c,
portanto
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1} = \frac{1}{1-2c},
com a condição de convergência \lvert 2c\rvert<1.

Passo 3

Impondo que essa soma valha 2, escrevemos
\frac{1}{1-2c} = 2.
Multiplicando ambos os lados por (1-2c) e isolando c obtemos
1 = 2(1-2c) \quad\Longrightarrow\quad 1 = 2 - 4c \quad\Longrightarrow\quad 4c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \tfrac{1}{4}.
Verificando a convergência, \lvert 2c\rvert = \tfrac12 < 1, logo está OK.

Resposta

c = \tfrac{1}{4}

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