Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
1.) \sum_{k=1}^{\infty}(2 c)^{k-1}=2
2.) \sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}=2

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o valor de c que faz cada uma das duas séries infinitas valer 2. O conteúdo que vamos usar é a soma de série geométrica infinita, cuja fórmula é:
\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r},
válida quando \lvert r\rvert<1.

Passo 2

A primeira série é
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1}.
Reescrevendo o índice, vemos que ela começa em k-1=0, tem razão r=2c e primeiro termo a_1=(2c)^0=1. Logo, sob a condição \lvert2c\rvert<1,
\sum_{k=1}^{\infty}(2c)^{k-1} =\sum_{m=0}^{\infty}(2c)^m =\frac{1}{1-2c}.
Igualando a 2:
\frac{1}{1-2c}=2 \quad\Longrightarrow\quad 1=2(1-2c) \quad\Longrightarrow\quad 4c=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac14.

Passo 3

A segunda série é
\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n}.
Podemos vê-la como geométrica com primeiro termo a_1=(1+c)^{-2} e razão
r=(1+c)^{-1}.
A condição de convergência é \lvert(1+c)^{-1}\rvert<1, ou seja \lvert1+c\rvert>1. A soma é
\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n} =\frac{(1+c)^{-2}}{1-(1+c)^{-1}}.
No denominador:
1-(1+c)^{-1} =\frac{(1+c)-1}{1+c} =\frac{c}{1+c}.
Logo
\sum_{n=2}^{\infty}(1+c)^{-n} =\frac{(1+c)^{-2}}{\,\frac{c}{1+c}\,} =\frac{1}{c\,(1+c)}.

Passo 4

Igualando a 2:
\frac{1}{c(1+c)}=2 \quad\Longrightarrow\quad c(1+c)=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-\tfrac12=0.
As raízes são
c=\frac{-1\pm\sqrt{1+2}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt3}{2}.
Checando \lvert1+c\rvert>1:
  • Para c=\tfrac{-1-\sqrt3}{2}\approx-1,366, temos 1+c\approx-0,366 e \lvert1+c\rvert<1, rejeitado.
  • Para c=\tfrac{-1+\sqrt3}{2}\approx0,366, temos 1+c\approx1,366>1, aceitável.

Resposta

(1) c=\frac14
(2) c=\frac{-1+\sqrt3}{2}

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