Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
22.)
22.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, calcular seu valor. O truque aqui é usar decomposição em frações parciais para obter uma forma telescópica.
Passo 2
Vamos escrever
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos
,
,
e
. Assim
Passo 3
Defina a soma parcial
Isso é telescópico, pois os termos internos se cancelam dois a dois, restando
Passo 4
Para testar a convergência, basta passar ao limite
. Como
, temos
Resposta
A série converge e sua soma é