Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
22.)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}
e, caso ela convirja, calcular seu valor. O truque aqui é usar decomposição em frações parciais para obter uma forma telescópica.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{A}{n}+\frac{B}{n^{2}}+\frac{C}{n+1}+\frac{D}{(n+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por n^{2}(n+1)^{2} e igualando coeficientes, obtemos A=0, B=1, C=0 e D=-1. Assim
\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}.

Passo 3

Defina a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\Bigr).
Isso é telescópico, pois os termos internos se cancelam dois a dois, restando
S_{N}=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(N+1)^{2}}.

Passo 4

Para testar a convergência, basta passar ao limite N\to\infty. Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(N+1)^{2}}=0, temos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}} =\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{1}{4}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle\frac{1}{4}.

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