É verdadeiro que \left[\begin{array}{c}1 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right] é autovetor de \left[\begin{array}{lll}3 & 6 & 7 \\\\ 3 & 3 & 7 \\\\ 5 & 6 & 5\end{array}\right] ? Caso seja, determine o autovalor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix}3 & 6 & 7 \\[4pt] 3 & 3 & 7 \\[4pt] 5 & 6 & 5\end{bmatrix}
e o vetor
v=\begin{bmatrix}1 \\[4pt] -2 \\[4pt] 1\end{bmatrix}.
Perguntas claras:
  • É verdadeiro que v é autovetor de A?
  • Se for, determinar o autovalor associado.]

Passo 2

Lembrete prático (definição): dizer que v é autovetor de A significa que existe um escalar \lambda tal que
A\,v=\lambda\,v.
Aqui A é a matriz conhecida, v é o vetor conhecido, e \lambda é o escalar desconhecido que devemos verificar/achar. Na prática verificamos multiplicando A por v e checando se o resultado é um múltiplo escalar de v.

Passo 3

Vamos calcular A\,v componente a componente. A regra de multiplicação matriz–vetor é
(Av)_i=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,v_j.
Calculemos cada entrada:
Primeira entrada:
(Av)_1=3\cdot 1 + 6\cdot(-2) + 7\cdot 1 =3 - 12 + 7 = -2.
Segunda entrada:
(Av)_2=3\cdot 1 + 3\cdot(-2) + 7\cdot 1 =3 - 6 + 7 = 4.
Terceira entrada:
(Av)_3=5\cdot 1 + 6\cdot(-2) + 5\cdot 1 =5 - 12 + 5 = -2.
Portanto
A\,v=\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 4 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Compare A\,v com um múltiplo escalar de v. Observe que
-2\cdot v = -2\cdot\begin{bmatrix}1 \\[4pt] -2 \\[4pt] 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 4 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.
Como A\,v é exatamente igual a -2\cdot v, concluímos que existe um escalar \lambda=-2 que satisfaz A\,v=\lambda v. Logo v é de fato um autovetor de A.]

Passo 5

Resumo curto e motivador: fizemos a multiplicação matriz–vetor passo a passo e vimos que o resultado é um múltiplo escalar exato do vetor dado. Portanto a resposta é afirmativa e o autovalor correspondente foi encontrado.

Resposta

Sim.
O autovalor é -2.

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