Achar o vector posiçāo da sombra da curva t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k} sobre o plano x z. Esta curva é paralela à reta x=y=z ?

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica pelo vetor posição
\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k}.
Pede duas coisas:
  • Achar o vetor posição da sombra (projeção) dessa curva sobre o plano xz.
  • Responder se a curva é paralela à reta x=y=z.
Informações relevantes dadas:
  • A curva está parametrizada por t.
  • O plano xz é dado por y=0 (ou seja, o vetor normal ao plano é \mathbf{j}).
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Entender o que significa “sombra sobre o plano xz”. Normalmente isso significa a projeção ortogonal da curva sobre o plano cujo equação é y=0. Uma forma geral e limpa de calcular a projeção ortogonal de um ponto (ou vetor posição) sobre um plano é usar a normal unitária do plano e subtrair a componente nessa direção.
Explicando a ideia com calma: dado um ponto com vetor posição \mathbf{r} e um vetor normal unitário \mathbf{n} ao plano, a componente de \mathbf{r} na direção normal é (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}. A projeção ortogonal de \mathbf{r} no plano é
\mathbf{r}_{\text{proj}}=\mathbf{r}-(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}.
Esse é um procedimento padrão que “remove” da posição a parte perpendicular ao plano.

Passo 3

Identificar o vetor normal unitário ao plano xz. O plano xz tem equação y=0, logo um vetor normal é \mathbf{n}=\mathbf{j}. Esse vetor já tem norma 1 (é unitário), pois \|\mathbf{j}\|=1. Portanto podemos aplicar a fórmula diretamente com \mathbf{n}=\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{n}. Usando
\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k} e \mathbf{n}=\mathbf{j},
o produto escalar é
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{n}=t\underbrace{(\mathbf{i}\cdot\mathbf{j})}_{0}+t^{2}\underbrace{(\mathbf{j}\cdot\mathbf{j})}_{1}+t^{3}\underbrace{(\mathbf{k}\cdot\mathbf{j})}_{0}=t^{2}.
Portanto a componente na direção normal é t^{2}\mathbf{j}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção:
\mathbf{r}_{\text{proj}}(t)=\mathbf{r}(t)-(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} =\bigl(t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k}\bigr)-t^{2}\mathbf{j}.
Fazendo a subtração de componentes obtemos
\mathbf{r}_{\text{proj}}(t)=t\mathbf{i}+0\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k}.
É comum escrever sem o termo nulo em \mathbf{j}:
\mathbf{r}_{\text{proj}}(t)=t\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{k}.
Em coordenadas isso corresponde ao ponto \bigl(t,\,0,\,t^{3}\bigr). Essa é a sombra ortogonal da curva no plano xz.

Passo 6

Agora a segunda pergunta: “Esta curva é paralela à reta x=y=z ?” Primeiro interpretar o que significa ser “paralela à reta x=y=z”. A reta x=y=z tem vetor diretor \mathbf{d}=(1,1,1) (ou em vetores de base: \mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}). Se a curva fosse um segmento de reta paralelo a essa reta, o vetor velocidade (derivada) da curva teria de ser sempre proporcional a \mathbf{d} (isto é, ter a mesma direção) para todo t. Então vamos verificar a direção do vetor tangente da curva.

Passo 7

Calcular o vetor tangente (derivada) da curva:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k}\bigr)=1\mathbf{i}+2t\mathbf{j}+3t^{2}\mathbf{k}.
Escrito em coordenadas: \mathbf{r}'(t)=(1,\,2t,\,3t^{2}).
Para ser paralelo a (1,1,1) precisamos que exista um escalar \lambda (possivelmente dependente de t) tal que
(1,\,2t,\,3t^{2})=\lambda(1,1,1).

Passo 8

Resolver as igualdades: da primeira igualdade \lambda=1. Substituindo na segunda obtemos 2t=1, logo t=\tfrac{1}{2}. Substituindo em 3t^{2}=\lambda 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=3\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}, que não é igual a \lambda=1. Portanto não existe \lambda que satisfaça as três igualdades ao mesmo tempo. Conclusão: o vetor tangente nunca é paralelo a (1,1,1) para nenhum t. Além disso, a própria curva não é uma reta (os componentes dependem de potências diferentes de t), então a curva não é paralela à reta x=y=z.

Resposta

\mathbf{r}_{\text{proj}}(t)=t\mathbf{i}+0\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k} \quad\text{(ou }\mathbf{r}_{\text{proj}}(t)=t\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{k}\text{)}
\text{Não: a curva não é paralela à reta }x=y=zããéà.

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