Questão 3: Seja
. Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
, definida por
. Esboce o gráfico da região
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a função
O que é pedido:
- Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
sobre . - Esboçar o gráfico (forma) da região
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As coordenadas
variam em . - Para cada
nessa faixa, varia entre e (ou seja, ). - Logo,
é uma região fechada e limitada (compacta) em , portanto , contínua (polinomial), atinge máximo e mínimo absolutos em .
Passo 2
Estratégia (explicando o porquê de forma simples): para funções contínuas em conjunto compacto, máximos e mínimos existem. O método prático é:
- Procurar pontos críticos no interior de
resolvendo . - Verificar as três arestas (fronteiras) de
— aí reduzimos o problema a funções de uma variável em cada aresta — e encontrar extremos nesses segmentos (incluindo extremos nas extremidades). - Comparar todos os valores obtidos e decidir máximo e mínimo absolutos.
Agora aplico essa estratégia passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos interiores.
Derivadas parciais:
Pontos críticos são soluções de
e
, ou seja
Intersecções possíveis:
. Devemos aceitar apenas os que pertencem a
, isto é, satisfazem
e
.
Verificação na região
:
-
não pertence a → descartamos . -
pertence; para temos → pertence a . - Para
com temos → pertence, mas note que está na fronteira (então é um ponto de fronteira, não interior). Apenas é interior propriamente dito.
Calcular
em
:
Portanto, temos um candidato a extremo interior com valor
.
Passo 4
Descrição da fronteira de
(para sabermos quais segmentos analisar) e esboço verbal da região:
- Fronteira é composta por três segmentos:
- Segmento inferior:
com . - Segmento oblíquo:
com . - Segmento vertical direito:
com .
- Segmento inferior:
Observação geométrica (esboço):
é o triângulo com vértices
,
e
. A hipotenusa é a reta
de
até
; a base é
de
até
; o lado vertical é
de
até
.
Passo 5
Analisar a aresta 1:
,
.
Substituir na função e reduzir a uma função de uma variável:
Derivada:
Zeros:
. Apenas
está em
(
fora ).
Avaliar nos pontos relevantes
:
Conclusão da aresta 1: máximo local/na aresta em
com
; mínimo na aresta em
com
.
Passo 6
Analisar a aresta 2:
,
.
Substituir na função:
Derivada:
Zeros:
. Numericamente
. Apenas
está no intervalo
;
está fora (menor que
).
Avaliar em
(ponta), em
(crítico) e em
(ponta):
Usar
para simplificar:
. Portanto
Conclusão da aresta 2: mínimo nesta aresta aproximadamente
em
; máximos nas pontas valendo
em
e
em
.
Passo 7
Analisar a aresta 3:
,
.
Substituir:
Derivada:
Zeros:
(ambos no intervalo
).
Avaliar em
:
Conclusão da aresta 3: mínimo na aresta em
com
; máximo na ponta
com
.
Passo 8
Coleção de todos os candidatos a máximos/mínimos (interior + fronteira):
- Interior:
com . - Fronteira aresta
: com , com , com . - Fronteira
: com , com , com . - Fronteira
: com , com , com .
Comparar os valores numéricos:
- Valores observados:
. - O maior é
em . - O menor é
em .
Passo 9
Interpretação final e verificação rápida: o mínimo ocorre em um ponto crítico interior
, o máximo ocorre em um vértice do triângulo
. Todos os candidatos relevantes foram checados (pontos críticos no interior e extremos em cada aresta, incluindo pontas), portanto a comparação é completa.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: