Questão 3: Seja K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-1 \leq y \leq x,-1 \leq x \leq 3\right\}. Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f: K \longrightarrow \mathbb{R}, definida por f(x, y)=x^{3}+y^{3}-12 x-3 y+55. Esboce o gráfico da região K.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:-1\le y\le x,\,-1\le x\le 3\}
e a função
f:K\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=x^{3}+y^{3}-12x-3y+55.
O que é pedido:
  • Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre K.
  • Esboçar o gráfico (forma) da região K.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas x variam em [-1,3].
  • Para cada x nessa faixa, y varia entre -1 e x (ou seja, -1\le y\le x).
  • Logo, K é uma região fechada e limitada (compacta) em \mathbb{R}^2, portanto f, contínua (polinomial), atinge máximo e mínimo absolutos em K.

Passo 2

Estratégia (explicando o porquê de forma simples): para funções contínuas em conjunto compacto, máximos e mínimos existem. O método prático é:
  1. Procurar pontos críticos no interior de K resolvendo \nabla f=0.
  2. Verificar as três arestas (fronteiras) de K — aí reduzimos o problema a funções de uma variável em cada aresta — e encontrar extremos nesses segmentos (incluindo extremos nas extremidades).
  3. Comparar todos os valores obtidos e decidir máximo e mínimo absolutos.
Agora aplico essa estratégia passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos interiores.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2),
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3=3(y^{2}-1)=3(y-1)(y+1).
Pontos críticos são soluções de \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0, ou seja
x\in\{-2,2\},\qquad y\in\{-1,1\}.
Intersecções possíveis: (-2,-1),(-2,1),(2,-1),(2,1). Devemos aceitar apenas os que pertencem a K, isto é, satisfazem -1\le x\le 3 e -1\le y\le x.
Verificação na região K:
  • x=-2 não pertence a [-1,3] → descartamos (-2,\cdot).
  • x=2 pertence; para y=1 temos -1\le 1\le 2 (2,1) pertence a K.
  • Para y=-1 com x=2 temos -1\le -1\le 2 (2,-1) pertence, mas note que (2,-1) está na fronteira y=-1 (então é um ponto de fronteira, não interior). Apenas (2,1) é interior propriamente dito.
Calcular f em (2,1):
f(2,1)=2^{3}+1^{3}-12\cdot2-3\cdot1+55=8+1-24-3+55=37.
Portanto, temos um candidato a extremo interior com valor 37.

Passo 4

Descrição da fronteira de K (para sabermos quais segmentos analisar) e esboço verbal da região:
  • Fronteira é composta por três segmentos:
    1. Segmento inferior: y=-1 com x\in[-1,3].
    2. Segmento oblíquo: y=x com x\in[-1,3].
    3. Segmento vertical direito: x=3 com y\in[-1,3].
Observação geométrica (esboço): K é o triângulo com vértices (-1,-1), (3,-1) e (3,3). A hipotenusa é a reta y=x de (-1,-1) até (3,3); a base é y=-1 de (-1,-1) até (3,-1); o lado vertical é x=3 de (3,-1) até (3,3).

Passo 5

Analisar a aresta 1: y=-1, x\in[-1,3].
Substituir na função e reduzir a uma função de uma variável:
g_1(x)=f(x,-1)=x^{3}+(-1)^{3}-12x-3(-1)+55=x^{3}-12x+57.
Derivada:
g_1'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4).
Zeros: x=\pm2. Apenas x=2 está em [-1,3] ( x=-2 fora ).
Avaliar nos pontos relevantes x=-1,2,3:
g_1(-1)=(-1)^{3}-12(-1)+57=-1+12+57=68,
g_1(2)=8-24+57=41,
g_1(3)=27-36+57=48.
Conclusão da aresta 1: máximo local/na aresta em x=-1 com f=68; mínimo na aresta em x=2 com f=41.

Passo 6

Analisar a aresta 2: y=x, x\in[-1,3].
Substituir na função:
g_2(x)=f(x,x)=x^{3}+x^{3}-12x-3x+55=2x^{3}-15x+55.
Derivada:
g_2'(x)=6x^{2}-15=3(2x^{2}-5).
Zeros: 2x^{2}-5=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{5/2}. Numericamente \sqrt{5/2}\approx1{,}5811. Apenas x=+\sqrt{5/2} está no intervalo [-1,3]; x=-\sqrt{5/2}\approx-1{,}5811 está fora (menor que -1).
Avaliar em x=-1 (ponta), em x=\sqrt{5/2} (crítico) e em x=3 (ponta):
g_2(-1)=2(-1)^{3}-15(-1)+55=-2+15+55=68,
\text{para }x=\sqrt{5/2}:\quad g_2(x)=2x^{3}-15x+55.
Usar x^{2}=5/2 para simplificar: 2x^{3}-15x = x(2x^{2}-15)=x(5-15)=-10x. Portanto
g_2\bigl(\sqrt{5/2}\bigr)=55-10\sqrt{5/2}\approx55-10\cdot1{,}5811\approx39{,}1886.
g_2(3)=2\cdot27-45+55=54-45+55=64.
Conclusão da aresta 2: mínimo nesta aresta aproximadamente 39{,}1886 em x=y=\sqrt{5/2}; máximos nas pontas valendo 68 em (-1,-1) e 64 em (3,3).

Passo 7

Analisar a aresta 3: x=3, y\in[-1,3].
Substituir:
g_3(y)=f(3,y)=3^{3}+y^{3}-12\cdot3-3y+55=27+y^{3}-36-3y+55=y^{3}-3y+46.
Derivada:
g_3'(y)=3y^{2}-3=3(y^{2}-1).
Zeros: y=\pm1 (ambos no intervalo [-1,3]).
Avaliar em y=-1,1,3:
g_3(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+46=-1+3+46=48,
g_3(1)=1-3+46=44,
g_3(3)=27-9+46=64.
Conclusão da aresta 3: mínimo na aresta em y=1 com f=44; máximo na ponta y=3 com f=64.

Passo 8

Coleção de todos os candidatos a máximos/mínimos (interior + fronteira):
  • Interior: (2,1) com f(2,1)=37.
  • Fronteira aresta y=-1: (-1,-1) com 68, (2,-1) com 41, (3,-1) com 48.
  • Fronteira y=x: (-1,-1) com 68, \bigl(\sqrt{5/2},\sqrt{5/2}\bigr) com \approx39{,}1886, (3,3) com 64.
  • Fronteira x=3: (3,-1) com 48, (3,1) com 44, (3,3) com 64.
Comparar os valores numéricos:
  • Valores observados: 68,\;64,\;48,\;44,\;41,\;39{,}1886,\;37.
  • O maior é 68 em (-1,-1).
  • O menor é 37 em (2,1).

Passo 9

Interpretação final e verificação rápida: o mínimo ocorre em um ponto crítico interior (2,1), o máximo ocorre em um vértice do triângulo (-1,-1). Todos os candidatos relevantes foram checados (pontos críticos no interior e extremos em cada aresta, incluindo pontas), portanto a comparação é completa.

Resposta

Mínimo absoluto: f(2,1)=37 em (2,1)
Máximo absoluto: f(-1,-1)=68 em (-1,-1)

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