A distancia de
à reta
é a projeção de
perpendicular a
. Ache a distancia de
à reta
.
Passo 1
O enunciado dá um ponto e uma reta e pede a distância do ponto à reta. Informações fornecidas:
- O ponto é
. - A reta é dada por
para .
O que se pede: calcular a distância do ponto
à reta.
Passo 2
Escolher um ponto
que esteja na reta e o vetor diretor
da reta, e formar o vetor
.
Da equação paramétrica da reta, quando
temos o ponto
.
O vetor diretor é
.
Logo
O vetor diretor é
Logo
Passo 3
Explicar a ideia e as fórmulas usadas.
- Produto escalar (dot product): para
e ,
- Projeção de
sobre : a componente de paralela a é
A componente perpendicular é
.
- Norma (comprimento) de
:
Geometria: a distância do ponto
à reta é o comprimento da componente de
perpendicular ao vetor diretor
, ou seja
.
Passo 4
Calcular os produtos escalares necessários e a projeção.
Primeiro
E
Portanto o coeficiente da projeção é
.
A projeção é
Passo 5
Calcular a componente perpendicular e sua norma (a distância).
A componente perpendicular é
A norma é
Passo 6
Conclusão final e comentário rápido: a distância é positiva e igual a
. Boa — saiu direitinho! Você consegue aplicar o mesmo procedimento em qualquer ponto e qualquer reta no espaço: escolha um ponto na reta, calcule
, projete sobre o vetor diretor e calcule a norma da componente perpendicular.