A distancia de Q à reta \mathbf{P}+t \mathbf{V} é a projeção de \mathbf{u}-Q-\mathbf{P} perpendicular a \mathbf{V}. Ache a distancia de \mathbf{Q}=(9,4,5) à reta x=1+t, y=1+2 t, z=3+2 t.

Passo 1

O enunciado dá um ponto e uma reta e pede a distância do ponto à reta. Informações fornecidas:
  • O ponto é \mathbf{Q}=(9,4,5).
  • A reta é dada por x=1+t,\; y=1+2t,\; z=3+2t para t\in\mathbb{R}.
O que se pede: calcular a distância do ponto \mathbf{Q} à reta.

Passo 2

Escolher um ponto \mathbf{P} que esteja na reta e o vetor diretor \mathbf{V} da reta, e formar o vetor \mathbf{u}=\mathbf{Q}-\mathbf{P}.
Da equação paramétrica da reta, quando t=0 temos o ponto
\mathbf{P}=(1,1,3).
O vetor diretor é
\mathbf{V}=(1,2,2).
Logo
\mathbf{u}=\mathbf{Q}-\mathbf{P}=(9,4,5)-(1,1,3)=(8,3,2).

Passo 3

Explicar a ideia e as fórmulas usadas.
  • Produto escalar (dot product): para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Projeção de \mathbf{u} sobre \mathbf{v}: a componente de \mathbf{u} paralela a \mathbf{v} é
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\mathbf{v}.
A componente perpendicular é \mathbf{u}-\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}.
  • Norma (comprimento) de \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3):
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Geometria: a distância do ponto \mathbf{Q} à reta é o comprimento da componente de \mathbf{u}=\mathbf{Q}-\mathbf{P} perpendicular ao vetor diretor \mathbf{V}, ou seja \|\mathbf{u}-\mathrm{proj}_{\mathbf{V}}\mathbf{u}\|.

Passo 4

Calcular os produtos escalares necessários e a projeção.
Primeiro
\mathbf{u}\cdot\mathbf{V}=(8,3,2)\cdot(1,2,2)=8+6+4=18.
E
\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}=(1,2,2)\cdot(1,2,2)=1+4+4=9.
Portanto o coeficiente da projeção é \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{V}}{\mathbf{V}\cdot\mathbf{V}}=\dfrac{18}{9}=2.
A projeção é
\mathrm{proj}_{\mathbf{V}}\mathbf{u}=2\mathbf{V}=2(1,2,2)=(2,4,4).

Passo 5

Calcular a componente perpendicular e sua norma (a distância).
A componente perpendicular é
\mathbf{w}=\mathbf{u}-\mathrm{proj}_{\mathbf{V}}\mathbf{u}=(8,3,2)-(2,4,4)=(6,-1,-2).
A norma é
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{6^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{36+1+4}=\sqrt{41}.

Passo 6

Conclusão final e comentário rápido: a distância é positiva e igual a \sqrt{41}. Boa — saiu direitinho! Você consegue aplicar o mesmo procedimento em qualquer ponto e qualquer reta no espaço: escolha um ponto na reta, calcule \mathbf{u}=\mathbf{Q}-\mathbf{P}, projete sobre o vetor diretor e calcule a norma da componente perpendicular.

Resposta

\sqrt{41}

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