Ache
ângulo entre a reta e o plano:
Reta
e o plano
.
Reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
e pede o ângulo entre eles. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A reta
A reta
e o plano
O que se pede: encontrar o ângulo
entre a reta
e o plano
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente e traduzir para vetores (a parte teórica que você precisa para a prova). Seja
o vetor diretor da reta e
o vetor normal do plano. Definições e relações importantes:
- O produto escalar entre dois vetores
e satisfaz
onde
é o ângulo entre
e
.
- Se
é o ângulo entre (direção da reta) e (normal do plano), então o ângulo entre a reta e o plano é o complemento de :
- Usando identidades trigonométricas,
- Substituindo
pela expressão do produto escalar obtemos a fórmula prática muito usada em provas:
Essa fórmula diz: para achar o ângulo entre reta e plano calcule o módulo do produto escalar entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta, dividido pelo produto das normas; o resultado é o seno do ângulo pedido.
Passo 3
Vamos extrair o vetor diretor
da reta
. Tomando o parâmetro
igual àquela razão comum:
Daí
O vetor diretor (os coeficientes de
) é
Passo 4
O vetor normal
do plano
é formado pelos coeficientes de
na equação do plano. Logo
Passo 5
Calculemos agora o produto escalar
:
Fazendo as contas passo a passo:
então
Passo 6
Agora as normas (comprimentos) dos vetores. A norma de
é
A norma de
é
Passo 7
Aplicamos a fórmula do Passo 2:
Podemos juntar as raízes:
Passo 8
Encontramos
tomando o arco-seno. Expressão exata e aproximação numérica (útil para conferência na prova):
Aproximando numericamente,
, portanto
Respire fundo — a parte algébrica foi só conta e a ideia chave é: vetor diretor da reta, vetor normal do plano, usar produto escalar e a fórmula do seno.