Ache o ângulo entre a reta e o plano:
Reta r: \frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{1}=\frac{1+z}{2} e o plano \pi_{1}: 4 x-3 y+4 z-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e o plano \pi_{1} e pede o ângulo entre eles. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A reta
r:\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{1}=\frac{1+z}{2}
e o plano
\pi_{1}:4x-3y+4z-1=0.
O que se pede: encontrar o ângulo \alpha entre a reta r e o plano \pi_{1}.

Passo 2

Vamos entender geometricamente e traduzir para vetores (a parte teórica que você precisa para a prova). Seja \mathbf{u} o vetor diretor da reta e \mathbf{n} o vetor normal do plano. Definições e relações importantes:
  • O produto escalar entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} satisfaz
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Se \varphi é o ângulo entre \mathbf{u} (direção da reta) e \mathbf{n} (normal do plano), então o ângulo \alpha entre a reta e o plano é o complemento de \varphi:
\alpha=90^\circ-\varphi.
  • Usando identidades trigonométricas,
\sin\alpha=\cos\varphi.
  • Substituindo \cos\varphi pela expressão do produto escalar obtemos a fórmula prática muito usada em provas:
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{u}\|}.
Essa fórmula diz: para achar o ângulo entre reta e plano calcule o módulo do produto escalar entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta, dividido pelo produto das normas; o resultado é o seno do ângulo pedido.

Passo 3

Vamos extrair o vetor diretor \mathbf{u} da reta r. Tomando o parâmetro t igual àquela razão comum:
\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{1}=\frac{1+z}{2}=t.
Daí
x=1+3t,\qquad y=-3+1\cdot t,\qquad 1+z=2t\Rightarrow z=2t-1.
O vetor diretor (os coeficientes de t) é
\mathbf{u}=(3,\,1,\,2).

Passo 4

O vetor normal \mathbf{n} do plano \pi_{1}:4x-3y+4z-1=0 é formado pelos coeficientes de x,y,z na equação do plano. Logo
\mathbf{n}=(4,\,-3,\,4).

Passo 5

Calculemos agora o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=4\cdot 3+(-3)\cdot 1+4\cdot 2.
Fazendo as contas passo a passo:
4\cdot 3=12,\quad (-3)\cdot 1=-3,\quad 4\cdot 2=8,
então
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=12-3+8=17.

Passo 6

Agora as normas (comprimentos) dos vetores. A norma de \mathbf{u}=(3,1,2) é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}.
A norma de \mathbf{n}=(4,-3,4) é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+9+16}=\sqrt{41}.

Passo 7

Aplicamos a fórmula do Passo 2:
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{u}\|}=\frac{17}{\sqrt{14}\,\sqrt{41}}.
Podemos juntar as raízes:
\sin\alpha=\frac{17}{\sqrt{14\cdot 41}}=\frac{17}{\sqrt{574}}.

Passo 8

Encontramos \alpha tomando o arco-seno. Expressão exata e aproximação numérica (útil para conferência na prova):
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{17}{\sqrt{574}}\right).
Aproximando numericamente, \dfrac{17}{\sqrt{574}}\approx 0,709706, portanto
\alpha\approx 45,22^\circ.
Respire fundo — a parte algébrica foi só conta e a ideia chave é: vetor diretor da reta, vetor normal do plano, usar produto escalar e a fórmula do seno.

Resposta

\displaystyle \alpha=\arcsin\!\left(\frac{17}{\sqrt{574}}\right)
\displaystyle \alpha\approx 45,22^\circ

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